Экстремум функции двух переменных

Лекция № 2

Функция нескольких переменных

В этой лекции будем говорить только лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x, y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f (x, y) и называется значением функции f в точке (x, y).

Множество D называется областью определения функции.

Замечание: поскольку любую пару чисел x, y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z = f (x, y) можно писать z = f (M).При этом аргументами функции будут координаты x, y точки M.

Частные производные

Определение: Частной производной по x функции z = f (x, y) в точке M ₀(x ₀, y ₀) называется предел

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

; ; .

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f (x, y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f (x, y) в точке M ₀(x ₀, y ₀):

= .

Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z = f (x, y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.

Примеры. 1. .

Чаще пользуются более короткими обозначениями:

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются z_xx ¢¢, z_yy¢¢, z_xy¢¢ или . Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной.

Экстремум функции двух переменных

Точка M ₀(x ₀, y ₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f (x,y), если найдется такая окрестность точки M ₀, что для всех точек M (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x,y)< f (x ₀ ,y ₀) (f (x,y)> f (x ₀ ,y ₀)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие существования экстремума: Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Замечание: точки экстремума дифференцируемой функции надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).

Пример: z = xy; z_x ¢ = y; z_y ¢ = x; z_x ¢(0,0) = 0; z_y ¢(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z (x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z (x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума:

Пусть z_x ¢(x ₀ ,y ₀) = 0 и z_y ¢(x ₀ ,y ₀) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x ₀ ,y ₀). Введем обозначения: A = z_xx ¢¢(x ₀ ,y ₀); B = z_xy ¢¢(x ₀ ,y ₀); C = z_yy ¢¢(x ₀ ,y ₀); D = AC - B ².

Тогда, если D < 0, то в точке (x ₀ ,y ₀) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x ₀ ,y ₀) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.