г) Основные элементарные функции.

Постоянная функция (), степенная (), показательная (, ), логарифмическая (, ), тригонометрические (, , , ) и обратные тригонометрические функции (, , , ) называются простейшими элементарными функциями.

Все функции, получаемые с помощью арифметических действий над простейшими элементарными функциями, суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.

1) Функция вида (, целое; , – числа) называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени . Многочлен первой степени называется также линейной функцией.

2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций

называется дробно-рациональной функцией. Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций.

3) Функция, полученная с помощью арифметических действий и суперпозиций над степенными функциями, не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией.

4) Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной называется трансцендентной.

 

II. Параметрический способ задания функции.

Определение: Параметрической функцией называется функция, у которой каждый аргумент зависит от некоторого параметра, либо от нескольких параметров.

Общий вид параметрической функции от одного параметра с двумя аргументами:

, где и – координаты произвольной точки , лежащей на данной линии, а – переменная, называемая параметром (он определяет положение т. на плоскости).

Например, если , то при получаем точку . Если параметр изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая линию – такой способ задания функции называется параметрическим. (Механический смысл параметрического уравнения: вследствие того, что точка перемещается по плоскости, уравнения называют уравнениями движения, линию – траекторией точки, при этом есть время).

Определение: Неявной функцией от двух переменных называется функция вида , т.е. мы не можем выразить явным образом одну из переменных функции с помощью другой переменной, но мы знаем зависимость между этими переменными.

Примеры неявных функций:

 

III. Полярные координаты.

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Каждой точке на плоскости ставилась в соответствие пара чисел x и y, называемая ее координатами.

Другой практически важной системой координат на плоскости является полярная. Она задается точкой O, называемой полюсом, лучом Op, называемым полярной осью и единичным вектором того же направления, что и луч Op.

Тогда положение произвольной точки (не совпадающей с O) определяется двумя числами: ее расстоянием от полюса и углом , образованным отрезком OM с полярной осью (направление против часовой стрелки считается положительным). Числа и называются полярными координатами точки (полярный радиус и полярный угол).

Обозначение: .

Установим связь между прямоугольной и полярной системой координат. Для этого совместим полюс О с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось – с положительным направлением оси Ох.

Пусть – прямоугольные, – полярные координаты точки М, тогда

(из прямоугольного треугольника см. рис)

- определяя величину , следует установить (по знакам x и y) четверть, в которой лежит этот угол и учесть, что (или ).

Вопросы, задаваемые обучающимся:

1. Определение функции.
2. Способы задания функции.
3. Параметрический способ задания функции.
4. Как задаются полярные координаты?

 

Заключительная часть

Итак, мы рассмотрели определение функции, ее свойства, способы задания и основные элементарные функции, ввели понятие полярных координат, рассмотрели параметрический способ занятия функции.

 

Разработал: старший преподаватель кафедры,

капитан вн. службы Е.А. Шварев

 

«31» июля 2014 года