Б) Основные характеристики.

Рассмотрим основные характеристики функции:

1) Функция называется четной, если для любого выполняется условие (). График четной функции симметричен относительно оси .

Функция называется нечетной, если для любого выполняется условие . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, – четная, т.к. ;

– нечетная, т.к. , а – функция общего вида (т.е. ни четная, ни нечетная).

2) Функция называется возрастающей (неубывающей), если для любых таких, что выполняется неравенство () (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции). На график линия слева направо направлена снизу вверх.

Функция называется убывающей (невозрастающей), если для любых таких, что выполняется неравенство () (т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции). График идет сверху вниз.

Эти функции называются монотонными (а возрастающие и убывающие – строго монотонными). Интервалы, в которых функция монотонная называются интервалами монотонности.

3) Функция называется ограниченной, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство . Следовательно, график функции лежит между прямыми и .

4) Функция называется периодической, если существует такое число , что для всех (если ). При этом число называется периодом функции. Периодическими будут также числа (); наименьшее положительное число, удовлетворяющее этому равенству считают основным периодом. График повторяет сам себя.

в) Обратная и сложная функции.

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений . Если любому значению , принадлежащему соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения и множеством значений . Такая функция называется обратной к функции и записывается . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными.

Например, для обратной функцией будет .

Из определения обратной функции следует, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда соответствие между и взаимно однозначное, следовательно, любая строго монотонная функция имеет обратную (при этом если функция возрастает (убывает), то и обратная функция возрастает (убывает)). Заметим, что обратные функции изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться считать, что, как обычно, аргумент обозначается , а зависимая переменная , то обратная функция запишется в виде , а графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов (т.к. если точка принадлежит функции, то принадлежит обратной функции, т.е. симметричны относительно прямой ).

Пусть функция определена на множестве , а функция в свою очередь на множестве (причем для любого , соответствующее значение ). Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от (или функцией от функции). Переменную называют промежуточным аргументом.

Например, . Здесь , . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.