Арифметические действия в системах счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЙ

Общие сведения

Краткий обзор. Основные термины и понятия

Система счисления – способ представления любого числа с помощью алфавита символов, называемых цифрами.

Существует много систем счисления, которые можно разбить на 2 вида: непозиционные и позиционные.

Непозиционная система. Примером является римская система счислений. В ней значение каждого символа постоянно, где бы символ ни находился в числе.

I, IX, XXI, LXI, XLII – символом “I” во всех приведенных числах закодирована цифра единица.

Позиционные системы. Пример арабская система.В позиционной системе значение каждой цифры (символа) зависит от места в числе, где записана эта цифра (символ). Убедимся в этом, на примере из принятой у нас десятичной системы, выполнив тождественные преобразования числа.

5555=5000+500+50+5. Итак, цифра 5 обозначает 5000, 500, 50 и 5.

В десятичной системе применяется 10 цифр (символов) для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Количество цифр (символов) применяемых в системе называют ее основанием, следовательно, у нашей системы основание равно 10, поэтому ее называют десятичной. Выполним снова преобразования десятичного числа

5685=5*1000+6*100+8*10+5=5*10³+6*10²+8*10¹+5*10⁰

Мы видим, число можно записать с помощью слагаемых, в которых присутствует основание системы. Оно возведено в степень на единицу меньше, чем порядок цифры в числе справа налево.

Кроме десятичной системы существуют некоторые другие системы счислений. Например, 12-тиричная применялась в России до 1917 года. До сих пор сохранились выражения «дюжина», «чертова дюжина». Ее до сих пор применяют в денежных единицах некоторых стран. На часах 12 чисел. 12 месяцев в году и т.д.

Возможность применять различные системы счислений основана на том, что на носителе информации (бумаге, папирусе) для можно записать много различных символов и придать им некоторое определенное значение.

Способы записи информации в компьютерной технике

На носителях информации, связанных с компьютерной техникой, широких возможностей для записи информации в настоящее время нет. Для записи информации в вычислительной технике используют 2 устойчивых состояния различных устройств.

На дискете или винчестере, которые можно представить состоящими из набора элементарных магнитов, эти магниты можно повернуть северным либо южным полюсом к подложке. Точка на диске может отражать или не отражать свет. На карте из плотной бумаги в определенном месте может быть или не быть отверстие. Электрическая цепь может проводить или не проводить ток. Лампочка может гореть или не гореть. Одному такому состоянию можно придать значение 1, второму 0. Таким образом, на одном элементе памяти можно записать либо 0, либо 1.

Этот минимальный объем информации, который можно записать на таких носителях называют бит.

Исторически сложилось так, что 8 носителей информации объединили в одну ячейку памяти, и количество записываемой в них информации назвали байт. Таким образом 1 байт = 8 бит.
В байте можно записать 2⁸=256 различных комбинаций двоичных чисел, то есть чисел состоящих только из двух цифр 0 и 1: 00000000, 00000001, 00000010, 00000011... 11111110, 11111111.

Если посмотреть несколько ячеек памяти, то в них будет записано множество нулей и единиц. Адреса ячеек памяти также представляются в двоичной системе. Чтобы облегчить человеку работу с такого рода информацией решили работать с ней по правилам 2-ной системы счислений. Числа этой системы можно перевести в другие более привычные и наглядные для человека системы: 8-меричную, 16-тиричную, 10-тичную.

Таблица 1.1.2

Десятичная система	Двоичная система	Восьмеричная система	Шестнадцатеричная система










			A
			B
			C
			D
			E
			F

Из таблицы 1.1.2 видно, какие символы применяются в качестве цифр в разных системах. Если использован последний допустимый символ, то в младшем разряде пишут 0, а в старшем 1.

Арифметические действия в системах счисления

Правила выполнения арифметических действий в десятичной системе счисления сохраняются и для других позиционных систем счисления.

Сложение

Складываем сначала единицы, потом десятки и т.д. до тех пор, пока не дойдем до старшего разряда. При этом всегда помним, что когда при сложении чисел в каком-либо разряде получается сумма, большая чем основание, то надо сделать перенос в следующий разряд.

Например 23651₈ 1 100 111₂

17043₈ 10011₂

42714₈ 1 111 010₂

Вычитание

Производится аналогично сложению.

Например 10 110, 1101₂11 076, 01₈

10 001, 1111₂705, 62₈

100, 1110₂10 170, 17₈

Умножение

Основой для перемножения любых чисел служит таблица умножения. Все числа записываются в той системе счисления, в которой перемножаются.

Например 173, 261₈

16, 35₈

1150565

173261

3366,56615₈

Некоторые таблицы умножения

Двоичная с.с.

Восьмеричная с.с.

Деление

Производится аналогично умножению.

Например 11011101101₂ 1001₂

1001 11000101

1001

1011

1001