Составление уравнений отдельных звеньев

Первым этапом расчетной части работы является составление дифференциальных уравнений и передаточных функций входящих в систему звеньев. Общий порядок составления дифференциальных уравнений заключается в следующем:

1. Принимаются допущения, позволяющие упростить рассмотрение динамических свойств звеньев и их математическое описание.

2. С учетом допущений записываются исходные уравнения, отражающие физические законы, которым подчиняется каждое звено.

3. В настоящей курсовой работе расчет ведется с позиций линейной теории, поэтому исходные уравнения необходимо линеаризовать. С этой целью для каждой координаты рассматриваются малые отклонения (приращения) относительно установившегося режима. В окрестности этих малых отклонений необходимо произвести линеаризацию имеющихся нелинейных зависимостей путем разложения их в ряд Тейлора и отбрасывания членов разложения, содержащих приращения выше первого порядка. Подставляя линеаризованные зависимости в исходные дифференциальные уравнения и исключая из них уравнения статики, получают линейные (линеаризованные) уравнения, справедливые для малых отклонений.

4. Проводя линеаризованные уравнения к принятой в теории автоматического управления форме, т.е располагая их по старшинству производных, получают окончательные уравнения, которые представляют собой исходные данные для построения структурной схемы и дальнейших исследований системы. При выводе уравнений целесообразно ознакомиться с примерами, приведенными в пособиях по расчету систем автоматического управления и регулирования, например в [2].

Порядок моделирования основных элементов автоматической системы

Элемент сравнения

∆U=U_з – U_тг.

Электронные усилитель

Uу = k_у∙∆U;

W_у(p) = .

Тиристорный преобразователь

U_т = k_тп ∙ e^(-pτ) ∙ Uу;

W_тп = ;

k_тп = ,

где

k_тп – коэффициент усиления тиристорного преобразователя;

U_уmax = 10 В – максимальное напряжение управления тиристорным преобразователем;

- некомпенсированная постоянная времени тиристорного преобразователя

m = 3 – число фаз;

= 50 Гц – частота питающей сети.

 

Тахогенератор

U_тг = k_тг ∙ n,

где

k_тг – коэффициент усиления тахогенератора;

n – частота вращения якоря, с^-1;

 

W_тг(р) = = k_тг.

Электродвигатель

Для составления математического описания электродвигателя постоянного тока воспользуемся следующими фундаментальными законами электротехники:
- закона электромагнитной индукции E_д = С_e ∙ Ф ∙ n;

- закона электромагнитных сил М_д = С_м ∙ Ф ∙ I_я;

- второго закона Кирхгофа U_т = R_я ∙ I_я ∙ L_я ∙ + E_д;

- правила Даламбера М_д – М_с = J ∙ .

 

 

Таким образом, получаем систему уравнений:

 

 

 

Применив преобразование Лапласа, получим:

где Т_я = L_я / R_я – постоянная времени якоря электродвигателя;

J – приведенный момент инерции подвижных частей автоматической системы.

Постоянную электродвигателя находим по паспортным данным:

 

На основе полученных уравнений в операторной форме составляем структурную схему электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением при неизменном магнитном потоке возбуждения (рис.3).

Рис.3. Структурная схема электродвигателя постоянного тока

Преобразуем полученную структурную схему электродвигателя постоянного тока к виду, приведенному на рисунке 4.

 

 

Рис.4. Преобразованная структурная схема электродвигателя постоянного тока

 

Окончательно запишем передаточную функцию электродвигателя постоянного тока:

где, k_д = 1 / с ∙ Ф – коэффициент усиления электродвигателя;

Т_м = R_я ∙ J / (c ∙ Ф)² – электромеханическая постоянная времени электродвигателя;

кʄ = R_я / c ∙ Ф – постоянный коэффициент.