Приклад 1. Які з чисел 234, 634, 104 конгруентні числу 9 за модулем 25.
Розв‘язання. Віднімемо від даних чисел число 9. Дістанемо:
234 – 9= 225, 634 – 9=625, 104 – 9=95. Числа 225 і 625 діляться на 25, тому числа 234 і 634 конгруентні числу 9 за модулем 25, тобто
, 
.
Приклад 2. Довести, що 
.
Розв‘язання. Скористуємося другою властивістю конгруенцій за одним і тим самим модулем. Розглянемо почленно конгруенції
, 
, 
, 
,
Помножимо всі одержані конгруенції
.
Отже, .
Приклад 3. Знайти остачу від ділення 
на 
.
Розв‘язання. Скористаємося властивостями конгруенцій за модулем . Нам треба знайти таке ціле невід‘ємне число 
, що 
і 
. оскільки 
, то 
, тобто 
.
За властивостями 
.
. (*)
, 
. (**)
, 
, 
.
(ù)
Виконаємо дії додавання та віднімання над конгруенціями (*),(**),(ù).
(*) – (**) + (ù),
+ 
.
Отже, число при діленні на дає остачу 
.
Приклад 4. Розв’язати в цілих числах рівняння. 
Так як НСД(13,21)=1, то дане рівняння має безліч розв’язків. Підбором встановлюємо частинний розв’язок 
.
Тоді загальний розв’язок має вигляд 
.
Відповідь: .
Приклад 5. Розв’язати в цілих числах рівняння. 
Так як НСД(45;37)=1, то рівняння має безліч розв’язків.
Щоб знайти 
застосуємо алгоритм Евкліда:
. Отже 
. Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку (лінійне представлення):
Отже (14;17) частинний розв’язок рівняння 
.
Тоді 
тобто 
.
Отже всі розв’язки знайдемо за формулами 
.
Відповідь:
Приклад 6. Розв’язати в цілих числах рівняння. 
Знайдемо НСД(2183;1961)= 
для цього скористаємося алгоритмом Евкліда.
.
Отже, 
.
Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку:
Отже 
- частинний розв’язок рівняння 
.
Тоді 
, тобто 
частинний розв’язок рівняння 
.
Загальний розв’язок має вигляд: 
.
Відповідь: .
Приклад 7. Розв’язати конгруенцію. 
Нехай 
, нехай 
чисельник передостаннього підхідного дробу 
для числа 
. Оскільки 
нескоротний дріб, то 
. За властивостей підхідних дробів маємо 
.
Розглянемо приклад 
маємо таблицю, де 
, 
, 
, 
. Тоді 
;
. 
Приклад 12 Розв’язати конгруенцію. 
.
Розв‘язання. 
.
Розкладемо дріб 
у ланцюговий дріб і знайдемо 
та 
.
За алгоритмом Евкліді дістанемо
1993=501* 3 +490; n=0;
501=490* 1 +11; n=1;
490=11* 44 +6; n=2;
11=6* 1 +5; n=3;
6=5* 1 +1; n=4;
5=1* 5 +0; n=5;
Отже, 
, 
.
Для обчислення , складемо таблицю
| k | -1 | ||||||||
| qk |
 ///////
| ||||||||
| Pk |
| ||||||||
| Qk |
Звідси 
.
Відповідь. 
Приклад. Варіант 30.
Остача від ділення 
на 8 дорівнює 2.
Приклад. Варіант 30. 
| 13=64*0+13 64=13*4+12 13=12*1+1 12=1*12+0 |
|
Перевірка: 
Приклад. Варіант 30. 1) 5x+7y=11; 
; x=7t+5;
| t | -2 | -1 | ||||
| x | -9 | -2 | -9 | |||
| y | -2 | -7 | -12 |
Відповідь: (-9,8),(-2,3),(5,-2),(12,-7),(19,-12),(-9,8),…
2) 102x-37y=408; 
| 37/28=[1;3,9] 37=28*1+9 28=9*3+1 9=1*9+0 |
|
x=37t+4;
| t | -2 | -1 | ||||
| x | -70 | -33 | -70 | |||
| y | -204 | -102 | -204 |
Відповідь: (-70,-204),(-33,-102),(4,0),(41,102),(78,204),(-70,-204),….
Приклад. Варіант 30. 4.5m=450cm
| t | -2 | -1 | ||||
| x | -22 | -5 | ||||
| y | -6 | -18 |
Відповідь. Так як відємної кількості дошок неможе бути, тоді відповідь має міститися в додатніх розвязках (12,18) або (29,6).
