Рассмотрим более подробно методы для интегралов типа 
, где 
- два многочлена каких-либо степеней.
Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь неправильная. Можно свести неправильную дробь к правильной, поделив 
на 
с остатком. В результате, появятся некоторые степенные слагаемые вне этой дроби, найти первообразные от них не проблема. Таким образом, мы должны научиться интегрировать именно правильные дроби.
Есть некоторые виды дробей, действия с которыми сводятся к тем методам, которые мы уже изучали, это так называемые «простейшие дроби» (у них знаменатель дальше нельзя разложить на множители).
= 
заменой сводится к 
, а далее как для степенной.
= 
.
(обозначим этот интеграл 
) решается интегрированием по частям, если обозначить всю функцию u а второй множитель 1. Получится «рекурсивная» формула, выражающая 
к , значит, все они сводятся к 
.
решается так: выделить полный квадрат, и тогда всё сведётся к виду 
.
выделить полный квадрат в знаменателе, и получится выражение вида 
.
Рассмотрим общий случай, когда степень знаменателя произвольна. Дробь при этом уже правильная, если не так, то мы отделили целую часть и проинтегрировали её отдельно.
Найдём корни знаменателя и разложим его на множители. При этом неразложимые множители могут остаться либо 1 либо 2 степени. Для любого многочлена 3 степени, уже есть хотя бы один действительный корень. Итак, в знаменателе могут быть только 
или 
.
Далее, можно разбить на сумму простейших дробей, где знаменатель каждой дроби - это один из множителей, на которые был разложен знаменатель . Например, если все корни различны, то
Называется метод неопределённых коэффициентов.
Если сумму простейших привести к общему знаменателю, то останется приравнять числители, и найти неопределённые коэффициенты.
Ситуация 1) Если все корни 
и различны.
Пример. 
.
Решение. 
= 
.
Приведём к общему знаменателю = 
.
Теперь приравняем числители в и .
, т.е.
, получается система уравнений:
решая её, находим 
.
Получается, что = 
=
= 
.
Ситуация 2. Если все корни , но среди них есть кратные.
Например, если два из 3 корней совпадают, дробь имеет такой вид: 
. Здесь нельзя записать 
и представить в виде 
, потому что, приводя к общему знаменателю такую сумму, мы получим в знаменателе только 
, а вовсе не 
. Таким образом, тот вариант метода разложения на простейшие, который был для различных корней, здесь приведёт к противоречию.
Разложение необходимо искать в таком виде:
Если корень кратности 
, то соответственно, надо включить в общую сумму таких слагаемых, где есть все степени от 1 до .
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Наличие множителя 
означает, что корень 0 кратности 2. Фактически даже можем рассматривать в таком виде: 
.
Сначала извлечём дробь из интеграла, и ищем разложение в виде:
= 
Приводим к общему знаменателю.
= 
Так как знаменатели равны, то осталось приравнять числители.
= 
,
=
=
Тогда надо приравнять коэффициенты при каждой степени, получится 
, 
, 
.
То есть система уравнений на поиск трёх неопределённых коэффициентов:
решая эту систему, находим 
.
Тогда исходный интеграл распадается на сумму:
= 
= 
= 
.
ЛЕКЦИЯ № 2. 21. 02. 2017
...
Приложение 1.
Вопросы по теории в билеты на экзамен.
Лекц. № 1
1. Докажите формулу интегрирования по частям.
Приложение 2.
Мелкие и устные вопросы на знание теории (для коллоквиумов).
Лекц. № 1
1. Что такое первообразная и неопределённый интеграл, чем они отличаются?
2. Объяснить, почему 
тоже является первообразной.
3. Напишите формулу интегрирования по частям.
4. Какая замена требуется в интеграле вида 
и каким образом она устраняет корни?
5. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни различны и действительны.
6. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни действительны, и есть один кратный корень кратности k.
