Подведение под знак дифференциала.

Если интеграл имеет вид , то есть в функции присутствует какой-то множитель, который достаточно легко подлежит интегрированию, а в остальном множителе есть явная зависимость от его первообразной, то это значит, что подынтегральная функция есть производная от композиции . Тогда можно объединить и назвать , и далее можно будет повсеместно заменить на . Рассмотрим, как это действует, на примерах.

Пример. Вычислить .

Решение. = , фактически здесь уже подготовлена замена , более того, дифференциал пересчитывать не нужно, потому что под дифференциалом и так сформировано то же самое, что будет называться . То есть, это частный случай замены переменных, только более простой.

Итак, вид интеграла получается = .

Сделаем обратную замену, и вот ответ: .

Проверка: = = , то есть именно исходную подынтегральную функцию мы и получили.

 

Интегрирование по частям.

Существует более общий метод, чем подведение под знак дифференциала. Иногда вовсе не требуется, чтобы первообразная от того множителя, который подводится под dx, была как-то связана с остальной частью функции. Запишите формулу:

Такой короткий вид легче выучить наизусть, а теперь запишем более подробно, чтобы понять смысл.

.

Если есть два множителя, и один из них интегрируется довольно легко (он обозначен ) то можно перейти к интегралу, в котором наоборот, понижено до производной, а повышено до первообразной. Иногда именно это помогает упростить дальнейшие вычисления.

 

Доказательство формулы.

Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: = . Тогда = .

Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:

= .

Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.

.

Поэтому = .

Пример. Вычислить .

Решение. Если обозначить , , то при переходе к степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!

Составим таблицу:

= , тогда получаем ответ: .

 

Пример. Вычислить интеграл: Составим таблицу:

После применения формулы, останется интеграл, в котором всего лишь один множитель, а не два, потому что переходит в 1, и один из множителей исчезает.

= = .

 

А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.

Пример. .

Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от к .

= = = .