Гармониялық осцилляторлар

Гармониялық осциллятор деп қозғалыс заңы (6.4) теңдеу арқылы сипатталатын жүйені айтады. Гармониялық осцилляторға серіппелік, физикалық және математикалық маятниктер мысал бола алады. Серіппелік маятник (6.2 – сурет) – абсолют серпімді серіппе мен оған ілінген,

6.2 – сурет. Серіппелік маятник

квазисерпімді

(

–серіппе қатаңдығы) күш әсерінен тербелетін массасы

жүктен тұратын жүйе. Маятниктің қозғалыс заңы:

немесе

. (6.9) (6.9), (6.4) теңдеулерден серіппелік маятник

заңы бойынша гармониялық тербеліс жасайтынын көреміз. Тербелістің циклдік жиілігі мен периоды келесі өрнектермен анықталады:

және . (6.10)

Физикалық маятник (6.3 – сурет) – С масса центрінен тыс жатқан 0 нүктесі арқылы өтетін горизонталь өстің айналасында ауырлық күші әсерінен тербеліс жасайтын қатты дене.

Маятник тепе-теңдік жағдайынан кіші бұрышқа ауытқығанда оған кері бағытта әсер ететін ауырлық күшінің құраушысы

(6.11)

күш моментін тудырады. Мұндағы - физикалық маятниктің ұзындығы. Бұл өрнекті айналмалы қозғалыс үшін динамиканың негізгі заңына қойсақ:

онда:

, немесе

(6.12) мұндағы:

– маятниктің айналу өсіне қатысты инерция моменті. Бұл теңдеудің түрі гармониялық осциллятордың қозғалыс заңымен сәйкес келеді. Олай болса физикалық маятник гармониялық тербеліс жасайды. Тербеліс параметрлері:

6.3 – сурет. Физикалық маятник

; , (6.13)

мұндағы - физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы деп аталады:

(6.14)

6.4 – сурет.Математикалық маятник Математикалық маятник (6.4 – сурет) –салмақсыз, созылмайтын, ұзындығы жіп пен оған ілінген, тек ауырлық күші әсерінен ғана тербелетін массасы материялық нүктеден тұратын жүйе. Оны физикалық маятниктің дербес түрі ретінде қарастыруға болады. Сондықтан оның периодын (6.13) формуламен анықтауға болады. Тек орнына материялық нүктенің нүктесіне қатысты инерция моментін (), физикалық маятниктің келтірілген ұзындығының орнына жіптің ұзындығын қою керек:

(6.15)

(6.13) және (6.15) формулаларды салыстырсақ, физикалық маятниктің периоды ұзындығы болатын математикалық маятниктің периодымен бірдей болатынын көреміз. Сондықтан физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы мен математикалық маятниктің ұзындығы тең болса, онда олардың периодтары да бірдей болады.

Шетін тербелістер

Өшетін тербелістер деп уақыт өткен сайын біртіндеп әлсірей беретін тербелістерді айтады. Жүйенің тербеліс энергиясы негізінен үйкеліске (диссипацияға) байланысты азаяды. Тұтқыр ортада тербелістегі денеге серпімділік (немесе квазисерпімді) күшінен басқа қозғалыс жылдамдығына пропорционал үйкеліс күші де әсер етеді, мұндағы – үйкеліс коэффициенті, –жылдамдық. Минус таңбасы мен векторларының бағыттары қарама-қарсы болатынын көрсетеді.

Еркін өшетін тербелістердің дифференциалдық теңдеуі: , немесе , немесе:

. (6.16)

Мұндағы: – осы жүйенің еркін тербелісінің () циклдік жиілігі, – үйкеліс коэффициенті. (6.16) теңдеудің тербелістің өшуі баяу () болғандағы шешуі: . (6.17) 6.5 – суретте бұл функцияның графигі тұтас сызықпен көрсетілген. 6.5 – сурет. Өшетін тербеліс

Тербеліс амплитудасы () уақыт бойынша экспонента заңымен кемиді (6.5 – суретте үзік-үзік сызықтармен келтірілген).

Амплитуданың е есе кемуіне кеткен уақыт релаксация уақыты деп аталады: . Өшетін тербелістің периоды келесі өрнекпен анықталады:

. (6.18)

Мұндағы: – өшетін тербелістің циклдік жиілігі.

Еріксіз тербелістер

Нақты тербелмелі жүйелердегі тербеліс өшпеу үшін оның энергия шығынын сыртқы периодты күштер арқылы толықтырып отыру керек. Сыртқы периодты күштер әсерінен жүретін тербеліс еріксіз тербеліс деп аталады. Механикалық тербелмелі жүйеге әсер ететін сыртқы гармоникалық күш: . Бұл күштің әсерінен жүйе келесі дифференциалдық теңдеумен сипатталатын еріксіз тербеліс жасайды:

немесе , (6.19)

мұндағы: – еркін өшпейтін тербелістің циклдік жиілігі; – өшу коэффициенті; .

Бұл сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу. Оның шешуі біртекті теңдеудің жалпы шешуі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешуінің қосындысына тең. Жоғарыдағы теңдеудің дербес шешуі түрінде болады. Мұндағы амплитуда мен бастапқы фаза келесі формулалармен анықталады:

және . (6.20)

Еріксіз тербеліс жиілігі болғанда амплитуда максимум мәнге те болады.

6.6 – сурет. Резонанстық қисықтар Бұл жиілік резонанстық жиілік деп аталады. Резонанс кезіндегі амплитуда . Егер нөлге ұмтылса, , онда барлық қисықтар статикалық ауытқу деп аталатын шектік мәнге тең болады.