Розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння

a) -2cos х = 1; б) cos 2х - 1 = 0;

в) 2cos = ; г) - 2cos = 0.

Очікувана відповідь: а) ± +2πn, n Z; б) π n, n Z;

в) ± +π n, n Z; r) ± + , n Z.

 

Повернемось до вирішення нашої проблеми: На початку заняття ми не вміли розв’язати рівняння: ,

Як бачимо, це найпростіші тригонометричні рівняння відносно косинуса, обидва мають розв’язки: , x = π + 2πп, п Z, як окремий випадок; б) , x = + 2πп, п Z, за загальним розв’язком.

4.2. Розв'язування найпростішого тригонометричного рівняння sin x = a.

 

1. Якщо | а | > 1, то рівняння не має роз­в'язків, поскільки | sin x | 1 для будь-якого x.

2. Якщо | а | < 1, то, враховуючи те, що sin x — ордината точки Р_x одинично­го кола, маємо: ординату, рівну а, мають дві точки одиничного кола (на осі OY відкладаємо число а і через цю точку проведемо пряму, перпендику­лярну до осі ординат (рис. 123), яка перетне коло у двох токах - і ):

x ₁ = arcsin a + 2πп, п Z,

x ₂ = π - arcsin а + 2πп, п Z.

Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули:

x = (-1) k arcsin a + πk, k Z

(1)

Неважко впевнитися, що при парному k = 2п маємо:

x ₁ = (-1)^{2 n} arcsin а + 2π п або x ₁ = arcsin a + 2πп, п Z;

при непарному k = 2 n + 1 маємо:

x ₂ = (-1)^{2 n +1} arcsin а + (2 n + 1)π;

x ₂ = - arcsin а + 2πп + π;

x ₂ = π - arcsin a + 2πп, п Z.

Окремі випадки.

· Якщо а = 1, то, враховуючи те, що sin t — це ордината точ­ки P_t(одиничного кола, маємо: ординату, рівну 1, має точка Р_t утворена із точки Р ₀(1;0) поворотом на кут + 2πп, п Z.

Отже, t = + 2πп, п Z.

· Якщо а = -1, то t = - + 2πп, п Z. "

· Якщо а = 0, маємо t = 0 + π п; t =πп, п Z.

 

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sinx = .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1) ⁿ arcsin + π п, п Z.

Оскільки arcsin = , то х = (-1) ⁿ + π n, п є Z.

Очікувана відповідь: (-1) ⁿ + π n, п є Z.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння sin х = - .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1) ⁿ arcsin + π п, п Z.

Оскільки arcsin = - , то х = (-1) ⁿ · + π n, n Z; х = (-1) ^{n +1} + π п, п Z.

Очікувана відповідь: (-1) ^{n +1} + π п, п Z.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння sin x = .

Розв'язання

Оскільки , то згідно з формулою (1) маємо: х = (-1) ⁿ arcsin + π п, п Z.

Очікувана відповідь: (-1) ⁿ arcsin + π п, п Z.

Коментоване виконання вправ під керівництвом викладача (закріплення знань, формування вмінь і навичок, метод – навчальний тренажер)

Розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння

a) 2sin х - 1 = 0; б) 2sin = - l;

в) 2sin = - ; г) 2sin = .

Очікувані відповіді: а) (-1) ⁿ + π n, n Z; б) (-1) ^{n+ 1} + 2πп, п Z;

в) +(-1) ^{n +1} + , п Z; г) +(-l) ^{n +1} +4π n, п Z

4.4. Розв'язування найпростішого тригонометричного рівняння tg x = a (ctg x = a).

Розв'язування рівняння tg x = а зручно проілюструвати за допо­могою лінії тангенсів (рис. 1). tg x — це ордината точки перетину прямої ОР_x з лінією тангенсів. Відкладемо на осі тангенсів число а, через цю точку і початок координат проведемо пряму, яка перетне одиничне коло у двох точках і , тоді

x = arctg а + π n, n Z

(1)

Отже, рівняння tg x = а при будь-яко­му значенні а має розв'язок.

Рівняння ctg x = а, де а ≠ 0 рівносиль­не рівнянню tg x = .

Проте можна довести, що розв'язки рівняння ctg x = а можна записати у вигляді: x = arcctg a + π п, n Z

 

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння tg x = .

Розв'язання

По формулі (1) знаходимо х = arctg + π п, п Z.

Оскільки arctg = , то маємо: х = + π п, п Z.

Очікувана відповідь: + π п, п Z.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння tg х = 2.

Розв'язання

За формулою (1) маємо: х = arctg 2 + π п, п Z.

Очікувана відповідь: arctg 2 + π п 1,1 + π п, п Z.

 

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння ctg x – = 0.

Розв'язання

ctg х – = 0; ctg х = ; tg х = , x = arctg + πп = + π n, n Z.

Очікувана відповідь: + π n, n Z.

5. Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок студентів. (бесіда,самостійна робота за індивідуальними варіантами з вибірковим контролем)

Як бачимо, при розв’язуванні найпростіших тригонометричних рівнянь необхідно виконати наступний алгоритм:

1. Визначити тип рівняння. (cosx = а, sinx = а, tgx = а чи ctgx = а).

2. Якщо це один із двох перших типів, то з’ясувати загальний чи окремий випадок.

3. Застосувати відповідну формулу.

Студентам пропонується самостійна робота за індивідуальними варіантами з вибірковим контролем по виконанню

6.Підведення підсумків заняття .(рефлексія)

Студентам пропонується дати відповідь на питання:

1. Як ви оцінюєте власну роботу на занятті?

2. Як ви оцінюєте роботу групи?

3. Де ви використаєте набуті знання?

4. Чи стануть вам у пригоді здобуті знання та вміння в майбутній професійній діяльності?

Викладач підводить підсумки заняття, відмічає роботу студентів, коментує отримані оцінки на занятті відповідно до складеної рейтингової таблиці.

7. Домашнє завдання. Вивчити конспект.