Двухфакторный дисперсионный анализ.

Изучается влияние процессов одновременно факторов А и В. Фактор А исследуется на уровнях a₁, а₂,…, а_k, фактор В – на уровнях b₁,b₂,…,b_m. Допустим, что при каждом сочетании факторов А и В проводятся n параллельных наблюдений (таблица №2)

‑­

Таблицы №2.

Данные для двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями.

В	А	Итого
а1	а2	…	аj	…	ak
b1	y111, y112,…, y11n	y211, y212,…, y21n	…	yi11, yi12,…, yi1n	…	yk11, yk12,…, yk1n	B1
b2	y121, y122,…, y12n	y221, y222,…, y22n	…	yi21, yi22,…, yi2n	…	yk21, yk22,…, yk2n	B2
…	…	…	…	…	…	…	…
bj	y1j1, y1j2,…, y1nj	y2j1, y2j2,…, y2jn	…	yij1, yij2,…, yijn	…	ykj1, ykj2,…, ykjn	Bj
…	…	…	…	…	…	…	…
bm	y1m1, y1m2,…, y1mn	y2m1, y2m2,…, y2mn	…	yim1, yim2,…, yimn	…	ykm1, ykm2,…, ykmn	Bm
Итоги	A1	A2	…	Ai	…	Ak

 

Общее число наблюдений равно N=nkm. Результат наблюдения можно представить в виде следующей модели:

yijq=μ+αi+βj+αiβj+εijq (1.28)

где,

‑­

μ – общее среднее;

α_i – эффект фактора А на i -м уровне, i=1,2,…,k;

β_j – эффект фактора В на j -м уровне j=1,2,…, m;

α_iβ_i – эффект взаимодействия факторов.

Эффект взаимодействия представляет собой отклонение среднего по наблюдениям в ij-й серии от суммы первых трех членов в модели (11.28), а εijq(q=1,2,…,n) учитывается вариацию внутри серии наблюдений (ошибка воспроизводимости). Будем полагать, как и прежде, что εijqраспределена нармально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σош2. Если предложить, что между факторами нет взаимодействия, то можно принять линейную модель:

yij=μ+αi+βj+εij (1.29)

Эта модель обычно применяется при отсутствии параллельных наблюдений:

Таблицы №3.

Данные для двухфакторного дисперсионного анализа без повторениями.

В	А	Итоги
а1	а2	…	аk
b1	y11	y21	…	yk1	В1
b2	y12	y22	…	yk2	В2
…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…
bm	y1m	y2m	…	ykm	Вm
Итоги	A1	A2	…	Ak

 

Таблицы №4.

Двухфакторный дисперсионный анализ (без повторениями опытов).

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
А	k-1	SSA=SS2-SS4	sA2=SSA(k-1)	mσA2+σобщ2
В	m-1	SSB=SS3-SS4	sВ2=SSB(m-1)	kσB2+σобщ2
Остаток	(k-1)(m-1)	SSост=SS1-SS2-SS3+SS4	sош2=SSостk-1(m-1)	σобщ2
Общая сумма	km-1	SSобщ=SS1-SS4	-	-

 

Установив при помощи дисперсионного анализа значимость влияния данного фактора, выясним затем при помощи критерия Стьюдента или рангового критерия Дункана, какие именно средние значения y различны.

Линейная модель (1.29) справедлива, если между факторами А и В нет взаимодействия. В противном случае взаимодействию как фактору присуща своя дисперсия σАВ2. Взаимодействие АВ, σАВ2 служит мерой того, насколько влияние фактора А зависит от уровня В, и наоборот, насколько влияние фактора В зависит от уровня А. В приведенном алгоритме при наличии взаимодействия между факторами σАВ2, как составная часть, входит в дисперсию σош2. Выделить σАВ2 можно только при наличии параллельных наблюдений.

Пусть при каждом сочетании уровней факторов А и В производится n параллельных опытов. Так, в таблице №2 в ячейке, образованной пересечением i -го столбца и j -й строки целая серия наблюдений y_ij1, y_ij2,…, y_ijn. Сохраним обозначе‑­

ние yij за средним результатом в ячейке. Выборочная дисперсия результатов в каждой ячейке

sij2=1n-1i=1n(yiju-yij)2 (1.58)

имеет n-1 степеней свободы. Если выборочные дисперсии по всем ячейкам однородны, их можно усреднить и использовать полученную средневзвешенную дисперсию

sош2=1mki=1kj=1msij2 (1.59)

в качестве оценки дисперсии воспроизводимости σ². Число степеней свободы sош2 равно mk(n-1). Более удобная формула для вычисления дисперсии воспроизводимости

Таблицы №5.

Двухфакторный дисперсионный анализ для модели со случайными уровнями (с повторениями опытов).

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
А	k-1	SSA=SS2-SS4	sA2=SSA(k-1)	mnσA2+nσAB2+σош2
В	m-1	SSВ=SS3-SS4	sВ2=SSВ(m-1)	mkσB2+nσAB2+σош2
АВ	(k-1)(m-1)	SSAB=SSобщ-SSA-SSB-SSош	sАВ2=SSABk-1(m-1)	nσAB2+σош2
Остаток (ошибка)	mk(n-1)	SSош=SS1-i=1kj=1myij2n	sош2=SSошmk(n-1)	σош2
Общая сумма	mkn-1	SSобщ=SS1-SS4

‑­

^ 4. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе. Латинские и гипер-греко-латинские квадраты.

При изучении влияния на процесс двух факторов число необходимых экспериментов ^ N (без повторения опытов) определялось произведением уровней изучаемых факторов. Если число уровней n одинаково, то объем эксперимента при двухфаторном дисперсионном анализе равен N-n². При таком числе опытов в эксперименте встречаются все возможные сочетания уровней изучаемых факторов. Такой эксперимент называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Эксперимент, в котором пропущены некоторые сочетания уровней, называют дробным факторным экспериментом (ДФЭ)

‑­

Сокращение перебора уровней всегда приводит к потере части информации. Поэтому при ДФЭ важно так спланировать эксперимент, чтобы терялась наименее существенная при данной постановке задачи информация. Особенно широко используются ДФЭ, в котором теряется лишь информация о взаимодействиях изучаемых факторов. Это правомерно в тех случаях, когда эффекты взаимодействия заведомо отсутствуют или несколько малы, что их можно не учитывать. Рассмотрим трехфакторный дисперсионный анализ при одинаковом числе уровней n для каждого фактора. Полный перебор сочетания уровней факторов требует N опытов:

N=n3 (1.82)

Число опытов значимо сократить, если воспользоваться ДФЭ по схеме латинского квадрата, введенного впервые Фишером. Латинский квадрат n×n – это квадратная таблица, составленная из n элементов (чисел или букв) таким образом, что каждый элемент повтряется в каждой строке и каждом столбце только один раз. Из трех элементов образуется латинский квадрат 3×3:

ABCBCACAB

Из четырех элементов – латинский квадрат 4×4:

ABCDBCDACDABDABC

Стандартными или каноническими латинскими квадратами называют такие квадраты, у которых первая строка и первый столбец построены в алфавитном порядке (элементы квадрата – буквы) или в порядке натурального ряда (элементы квадрат – числа). Построены эти квадраты путем одношаговой циклической перестановки: вторая строка строится перестановкой в конец строки первого элемента первой строки, третья строка – перестановкой в конец первого элемента второй строки и т.д. Одношаговая циклическая перестановка – это наиболее простой способ построения латинского квадрата. В общем случае n×n латинский квадрат может быть построен при n-1 одношаговых циклических перестановках. Число ла‑­

тинских квадратов зависит от размера квадрата и для n>3 оно достаточно велико. Так, имеется 576 латинских квадратов 4×4, 161280 латинских квадратов 5×5.

К планированию эксперимента по схеме латинского квадрата прибегают при исследовании влияния на процесс трех факторов А, В и С. При этом факторы могут быть связаны с самим исследованием. а в качестве фактора С рассматривается неоднородный материал. Все три фактора имеют одинаковое число уровней (a_i, b_i, c_i).

Латинский квадрат является частью плана – по схеме латинского квадрата введен в планирование третий фактор С. Однако весь этот план принято называть латинским квадратом. В латинском квадрате каждый элемент повторяется только один раз в каждой строке и в каждом столбце. поэтому каковы бы ни были нарушающие свойства элемента квадрата, они в равной степени скажутся при подсчете средних по столбцам и по строкам.

Результаты наблюдений, полученного по полному факторному эксперименту, можно представить в виде следующей модели:

yijq=μ+αi+βj+γq+αiβj+αiγq+βjγq+αiβjγq+εijq (1.83)

В модель (1.83) помимо линейных эффектов входят три эффекта парного и один тройной эффект взаимодействия. Сокращение числа опытов в дробной реплике приводит к тому, что линейные эффекты оказываются смешанными с эффектами взаимодействия:

- эффект А с ВС взаимодействием;

- эффект В с АС взаимодействием;

- эффект С с АВ взаимодействием.

При применении латинского квадрата обычно исходят из предложения, что эффекты взаимодействия между факторами незначимы. Тогда результаты эксперимента можно представить в виде линейной модели:

yijq=μ+αi+βj+γq+εijq (1.84)

Таблицы №6.

Латинский квадрат 3×3.

‑­

А	В	Итоги
b1	b2	b3
а1	c1 y1	c2 y2	c3 y3	А1
а2	c2 y4	c3 y5	c1 y6	А2
а3	c3 y7	c1 y6	c2 y9	А3
Итоги	В1	В2	В3

 

В таблице №6 приведен план эксперимента по схеме латинского квадрата 3×3.

Латинский квадрат 3×3 со структурной точки зрения можно рассматривать как 1/3 реплику от полного факторного эксперимента 3³. В общем случае латинский квадрат n×n можно рассматривать как реплику 1/n от ПФЭ n ³.

При проведении дисперсионного анализа латинского квадрата без повторных опытов удобно использовать следующий алгоритм расчета. Для этого определяют: 1. итоги по срокам A_i, столбцам B_j и латинским буквам С_q. Например, для приведенного в таблице №6 латинского квадрата 3×3 итоги по строкам

A1=y1+y2+y3; A2=y4+y5+y6; A3=y7+y8+y9;

итоги по столбцам:

B1=y1+y4+y7; B2=y2+y5+y8; B3=y3+y6+y9;

итоги по латинским буквам

С1=y1+y6+y8; С2=y2+y4+y9; С3=y3+y5+y7;

2. сумму квадратов всех наблюдений

Если какое-нибудь дисперсионное отношение оказывается больше табличного, соответствующая нулевая гипотеза отвергается и влияние фактора считается незначимым. Приняв гипотезу о значимости влияния фактора, т.е. гипотезу о значимости различия в средних. обычно выясняют, какие именно средние значимо различаются между собой при помощи критерия Стьюдента или множественного рангового критерия Дункана. Если же согласно условиям задачи один или два фактора являются источниками неоднородностей, влияние которых надо исключить при подсчете главного эффекта (это обеспечивается планированием по схеме латинского квадрата), то средние по источникам неоднородностей не подсчитывается и не проверяется значимость их различия по статистическим критериям.

Планирование эксперимента по латинскому квадрату позволяет ввести в исследование три фактора. Для четырех факторов хорошими свойствами обладает план эксперимента по схеме греко-латинского квадрата. Задача состоит в том, чтобы к трем исследуемым факторам, не имея общего числа опытов n², добавить четвертый фактор D. Это удается сделать, если найти место такое расположение уровней факторов C и D, при котором в каждой строке и в каждом столбце имеются все n уровней фактора С и все n уровней фактора D и ВТО же время никакие два уровня факторов C и D не встречаются во всей таблице больше одного раза. Расположение такого типа называется латинскими квадратами второго порядка, который получается комбинацией двух ортогональных латинских квадратов.

Рассмотрим следующие два латинских квадрата, составленных соответственно из латинских и греческих букв:

‑­

I II

^ ABCDECDEABEABCDBCDEADEABC αβγδεδεαβγβγδεαεαβγδγδεαβ (1.100)

Если наложить эти два квадрата один на другой и составить третий квадрат, каждая клетка которого содержит как латинскую, так и греческую букву соответствующих клеток исходных квадратов, то получим:

^ AαBβCγDδEεCδDεEαAβBγEβAγδBCεDαBεCαDβEγAδDγEδAεBαCβ (1.101)

В полученном квадрате каждая буква одного квадрата связана один и только один раз с каждой буквой другого квадрата. Такие два латинских квадрата называются ортогональными. Полученный квадрат второго порядка называют также греко-латинским квадратом. Задача о нахождении ортогональных латинских квадратов в комбинированной математике ещё полностью не решена. Доказано существование ортогональных латинских квадратов для n =3, 4, 5, 7, 8 и 9. Известно, что их нет для n =6. Для n =6 поэтому можно построить обычный латинский квадрат и нельзя построить квадрат второго порядка. Латинский квадрат n=10 не исследован. Если имеется k=n-1попарно ортогональных латинских квадратов, то они образуют так называемую полную систему ортогональных латинских квадратов. Показано, что существую полные системы латинских квадратов для n=p (р - простое число) и n=p^α (степени простого числа). Полную систему ортогональных латинских квадратов для n=p (р – простое число) можно построить, использую поля Галуа.

Планирование эксперимента по схеме греко-латинского квадрата применяется для четырех факторов. Число уровней для всех факторов должно быть одинаково.

‑­

Греко-латинский квадрат является частью четырех факторного плана – по схеме греко-латинского квадрата вводят в план эксперимента фактора C и D. Однако принято греко-латинским квадратом называть весь четырехфакторный план.

В греко-латинском квадрате имеется n² различных комбинаций уровней факторов вместо n⁴ комбинаций полного четырехфакторного эксперимента. Поэтому греко-латинский квадрат представляет собой 1/n² реплику от полного факторного эксперимента.

Дисперсионный анализ греко-латинского квадрата проводится также, как и анализ обычного латинского квадрата, с учетом четвертого фактора D (греческая буква). Сумма квадратов для греческой буквы имеет число степеней свободы n-1. Число степеней свободы остаточной суммы. Определяемой, как и ранее, в виде разности между общей суммой квадратов и суммами квадратов всех факторов, равна (n-1)(n-3). Если наложить друг на друга три ортогональных латинских квадрата, получим латинский квадрат третьего порядка, n ортогональных квадратов – латинский квадрат n -го порядка. Полученные квадраты называют также гипер-греко-латинскими квадратами.

При n уровнях в план можно ввести n+1 фактор. Число степеней свободы остаточной суммы при этом будет равно нулю. Такие планы называются насыщенными.

Основным допущением, лежащим в основе применения греко-латинского квадрата и квадратов высших порядков, является предположение об отсутствии взаимодействия между факторами. Проверить адекватность принятой лишенной модели, как и при применении латинских квадратов, можно только при наличии параллельных опытов.

Заключение.

Важнейшей задачей современной науки является максимальное сокращение сроков перехода от лабораторных исследовании в промышленность, сокращение пути перехода от лабораторного стола к промышленной реализации. Методы кибернетики позволяют не только сократить этот путь, но и резко уменьшить чис‑­

ло необходимых опытов, быстро выявить оптимальный вариант существования изучаемого процесса. Использование методов кибернетики и вычислительной техники изменяет старые традиционные методы проведения эксперимента – от ручного управления, контроля, сбора и обработки информации дает возможность перейти от диалоговой системе: экспериментатор – электронная управляющая машина. Эксперимент проводит машина, в которую предварительно заложена программа оптимизации эксперимента. Эта система в десятки раз ускоряет проведение эксперимента, повышает надежность полученных данных.

Оптимальное планирование эксперимента предполагает одновременное изменение всех факторов, влияющих на процесс, что позволяет сразу установить степеней взаимодействия параметров и значительно сократить общее число опытов.

Совместная часть метода математического моделирования – установление адекватности математической модели изучаемому объекту. Адекватность может быть установлена с использованием статистико-вероятностных методов, позволяющих определить значения коэффициентов математической модели или действительного времени пребывания частиц потока. переносящих вещество или энергию. Поэтому применении таких приемов, как использование метода моментов, стало мощным средством математической оценки соответствия модели и объекта.

Экспериментально-статистические методы позволяю получать математические модели таких процессов, строгое детермированное описание которых вообще отсутствует.

Понятна и общепризнанна ценность аналитических моделей, построенных на основе анализа физико-математических характеристик, точно описывающих процесс. Однако реальные процессы настолько сложны, что их точное описание едва ли может быть получено в реальные сроки. Кроме того, такие модели часто содержат громоздкие системы дифференциальных уравнений, применять которые крайне затруднительно, а иногда и невозможно.
‑­

 

Список литературы.

1. Ахназарова С.Л. Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии – М.: «Высшая школа» 1978.

2. Гореев В.В. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций – М.: «Высшая школа» 2002.

3. Золотухин Н.Д. Испытание строительных конструкций – М.: «Высшая школа» 2003.

4. Планирование эксперимента и статистическая обработка результатов: методические указания. Землянский А.А., Мордовин Г.М. Балаково: БИТТиУ 2004.

5. Ровенькова Т.А. Планирование эксперимента в производстве химических волокон - М.: «Химия»1977.

6. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента - М.: «Наука» 1971

Исползованные литературы и сайты:

1. www.google.ru

2. http://go.mail.ru

3. http://ru.wikipedia.org