Однофакторный дисперсионный анализ.

Рассмотрим действие единичного фактора А (количественного или качественного), который принимает k различных значений (уровней фактора). На i -м уровне производится n_i наблюдений, результаты которых можно записать следующим образом:

y11y21yk1y12y22yk2………y1n1y2n2yknk

Будем предполагать, что результат любого наблюдения можно представить в виде модели:

yij=μ+di+εij (1.1)

где,

μ – суммарный эффект во всех опытах;

di - эффект фактора на i -м уровне (i =1,2…,k);

ε_ij – ошибка измерения на i -м уровне. Предположим также, что наблюдения на фиксированном уровне фактора нормально распределены относительно среднего значения μ+di с общей дисперсией σ2. Общее число опытов равно N:

‑­

N=n1+n2+…+nk (1.2)

проверяется нулевая гипотеза равенства средних значений на различных уровнях А:

m1=m2=…=mk=m

Наиболее простые расчеты получаются при равном числе опытов на каждом уровне фактора А: n₁=n₂=…=n_k=n.

При этом общее число наблюдений N равно kn. Обозначим через yi, среднее значение наблюдений на i -м уровне.

yi=j=1nyijn=Ain (1.3)

а общее среднее значение для всей выборки из N наблюдений:

y=1Ni=1kj=1nyij=1ki=1kyi (1.4)

Для проведения дисперсионного анализа необходимо общую выборочную дисперсию s².

s2=i=1kj=1n(yij-y)2N-1=1N-1i=1kj=1nyij2-i=1kj=1nyijN (1.5)

разложить на составляющие, которые характеризовали бы вклад, фактора А и фактор случайности при этом легко оценить благодаря наличию повторных опытов на каждом уровне. Определить выборочную дисперсию на каждом уровне:

si2=1n-1j=1n(yij-yi)2=1n-1j=1nyij2-(j=1nyij)2n

i=1,2,…,k. (1.6)

Если нет уверенности в равноточности экспериментов, однородность дисперсий s₁², s₂²,…, s_k², можно проверить по критерию Кохнера.

Если между дисперсиями нет значимых различий, для оценки генеральной дисперсии σ², характеризующнй фактор случайности. используют выборочную дисперсию s²_общ:

sобщ2=1ki=1ksi2=1k(n-1)i=1kj=1nyij2-1ni=1k(j=1nyij)2 (1.7)

‑­

Число степеней свободы дисперсии s²_общ равно k(n-1)=N-k. Приближенную оценку для дисперсии фактора А можно получить следующим образом:

σА2≈s2-sобщ2 (1.8)

Более точную оценку для σА2 можно получить, рассматривая отклонение средних yi на отдельных уровнях от общего среднего всей выборки y. Действительно,

1k-1i=1k(yi-y)2≈σА2+σ2n≈σА2+sобщ2n (1.9)

Отсюда

σА2≈1k-1i=1k(yi-y)2-sобщ2n (1.10)

Дисперсия фактора А для модели с фиксированными уровнями σА2 не связана ни с какой случайной, это условное название для математического ожидания среднего квадрата отклонений, обусловленного влиянием фактора А. Такое обозначение удобно, так как определяет рассеяние, вызванное влиянием фактора А аналогично показателю влияния случайного фактора. что позволяет непосредственно сравнивать фактор А с эффектом случайности. Введем также следующее обозначение:

sA2=nk-1i=1k(yi-y)2≈nσA2+sобщ2 (1.11)

Эта дисперсия имеет k -1степеней свободы. Если дисперсия sA2 значимо отличается от sобщ2, нулевая гипотеза m₁=m₂=…=m_k=m отвергается, влияние фактора А считается существенным. Проверяется нулевая гипотеза по критерию Фишера. Так как альтернативой σA2=σобщ2 является равенство σA2>σобщ2, для проверки гипотезы применяется односторонний критерий Фишера. Влияние фактора А считается значимым:

σA2σобщ2=F1-pf1,f2 (1.12)

f1=k-1

f2=kn-1=N-k

‑­

Дисперсионный анализ можно провести по следующему алгоритму: 1. итоги по столбцам

Ai=j=1nyji (1.13)

2. сумму квадратов всех наблюдений

SS1=i=1nj=1nyij2 (1.14)

3. сумму квадратов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце,

SS2=1ni=1kAi2 (1.15)

4. квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (корректирующей член),

SS3=1N(i=1kAi)2 (1.16)

5. сумму квадратов для столбца

SSA=SS2-SS3 (1.17)

6. SSобщ - общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом,

SSобщ=SS1-SS3 (1.18)

7. SSост - остаточную сумму квадратов для оценки ошибки эксперимента

SSост=SS1-SS3 (1.19)

8. дисперсию sA2

sA2=SSAk-1 (1.20)

9. дисперсию sобщ2

sобщ2=SSoбщk(n-1) (1.21)

Результаты расчета представляются в виде таблицы дисперсионного анализа:

Таблицы №1.

Однофакторный дисперсионный анализ (с равным числом повторений опытов)
‑­

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
А	k-1	SSA=SS2-SS3	sA2=SSAk-1	nσA2+σобщ2
Остаток	k(n-1)	SSост=SS1-SS3	sобщ2=SSoбщk(n-1)	σобщ2
Общая сумма	kn-1	SSобщ=SS1-SS3	SSoбщk(n-1)	-

 

Если отношение sa2/sош2≤F1-p, то влияние фактора А следует считать незначимым. При этом общая дисперсия s² связана только с фактором случайности и может служить оценкой для дисперсии воспроизводимости. Такая оценка лучше, чем, так как имеет большее число степеней свободы, равное kn-1. при интерпретации результатов дисперсионного анализа необходимо иметь в виду, что очень низкое значение дисперсионного отношения может быть связано с тем, что влияние какого-то важного неконтролируемого в ходе эксперимента фактора не было рандомизированно. Это может увеличить дисперсию внутри уровней, а дисперсию между уровнями оставить неизменной, что уменьшает дисперсионное отношение.

Если же справедливо неравенство (1.12), различие между дисперсиями sa2 и sош2 значимо и, следовательно значимо влияние фактора А. Определим оценку фактора А из (1.11):

σA2≈sa2-sош2n (1.22)

При этом нулевая гипотеза m₁=m₂=…=m_k=m отвергается, и различие между средними m₁, m₂,…,m_k следует считать значимым. Для выяснения вопроса, какие именно средние различны, применяются критерии Стьюдента, Фишера или ранговый критерий Дункана.

‑­

При интерпретации результатов дисперсионного анализа для модели со случайными уровнями обычно интересуются не проверкой гипотез относительно средних, а оценкой компонент дисперсий. В отличие от модели с фиксированными уровнями выводы по случайной модели распространяются на всю генеральную совокупность уровней.

Рассмотрим схему вычислений для разного числа параллельных наблюдений. Пусть на уровне a_i проведено n_i параллельных наблюдений. Общее число всех наблюдений равно

N=i=1kni

Определим: 1. итоги по столбцам

Ai=j=1niyji i=1,2,…,k (1.23)

2. суммы квадратов наблюдений

SS1=i=1kj=1niyij2 (1.24)

3. сумма квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце

SS2=i=1kAi2ni (1.25)

4. общего итога, деленный на число наблюдений

SS3=1N(i=1kAi)2 (1.26)

Дальнейшие расчеты проводятся по формулам (1.17) – (1.21). Если дисперсии sa2 и sош2 значимо отличаются друг от друга, дисперсию фактора А вычисляют по формуле:

σA2≈k-1NN2-i=1knisa2-sош2 (1.27)