Лабораторная работа № 1
Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.
Задания:
1. Изучить и законспектировать по учебному пособию "Численные методы" п. № 2.3, стр.75-79.
2. Рассмотреть и проделать " Образец выполнения работы № 1".
3. Выбрать из таблицы уравнение, номер которого совпадает с номером студента в журнале. Отделить корни уравнения графически и аналитически. Уточнить корни (все!) уравнения методом половинного деления с точностью 
, указать число разбиений отрезка. Номера других уравнений уточните у преподавателя.
Краткое изложение метода половинного деления.
Дано нелинейное уравнение 
, где функция 
определена и непрерывна для всех 
, причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. 
.
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью, например, 
, а так же необходимое для этого число разбиений отрезка 
.
Приближенное решение 
и погрешность приближения 
находятся по следующей схеме:
, 
, 
; где 
, удовлетворяет условиям 
, 
; из последнего определяется число разбиений отрезка 
.
Образец выполнения работы № 1
Постановка задачи. Найти корень нелинейного уравнения 
методом итерации с точностью 
.
Решение задачи. Отделим корень уравнения на отрезке 
графическим методом. Для этого табулируем функцию 
на данном отрезке. Имеем , 
, 
, 
, 
. Выделим отрезок 
, содержащий изолированный корень, для уточнения которого применим метод половинного деления по схеме 
, 
, 
, где 
, 
. Полагая 
, 
, а так же условие остановки деления отрезка пополам 
, составим таблицу:
| 
| 
| 
| 
| 
| корень | Погреш ность | Усл остан |
| 1,00000000 | 3,00000000 | 2,00000000 | 1,29583687 | -1,17168626 | 0,15888308 | 1,00000000 | нет | |
| 2,00000000 | 3,00000000 | 2,50000000 | 0,15888308 | -1,17168626 | -0,48776781 | 0,50000000 | нет | |
| 2,00000000 | 2,50000000 | 2,25000000 | 0,15888308 | -0,48776781 | -0,15924305 | 0,25000000 | нет | |
| 2,00000000 | 2,25000000 | 2,12500000 | 0,15888308 | -0,15924305 | 0,00119806 | 0,12500000 | нет | |
| 2,12500000 | 2,25000000 | 2,18750000 | 0,00119806 | -0,15924305 | -0,07868831 | 0,06250000 | нет | |
| 2,12500000 | 2,18750000 | 2,15625000 | 0,00119806 | -0,07868831 | -0,03866032 | 0,03125000 | нет | |
| 2,12500000 | 2,15625000 | 2,14062500 | 0,00119806 | -0,03866032 | -0,01870977 | 0,01562500 | нет | |
| 2,12500000 | 2,14062500 | 2,13281250 | 0,00119806 | -0,01870977 | -0,00875050 | 0,00781250 | нет | |
| 2,12500000 | 2,13281250 | 2,12890625 | 0,00119806 | -0,00875050 | -0,00377488 | 0,00390625 | нет | |
| 2,12500000 | 2,12890625 | 2,12695313 | 0,00119806 | -0,00377488 | -0,00128807 | 0,00195313 | нет | |
| 2,12500000 | 2,12695313 | 2,12597656 | 0,00119806 | -0,00128807 | -0,00004492 | 0,00097656 | нет | |
| 2,12500000 | 2,12597656 | 2,12548828 | 0,00119806 | -0,00004492 | 0,00057659 | 0,00048828 | нет | |
| 2,12548828 | 2,12597656 | 2,12573242 | 0,00057659 | -0,00004492 | 0,00026584 | 0,00024414 | нет | |
| 2,12573242 | 2,12597656 | 2,12585449 | 0,00026584 | -0,00004492 | 0,00011046 | 0,00012207 | нет | |
| 2,12585449 | 2,12597656 | 2,12591553 | 0,00011046 | -0,00004492 | 0,00003277 | 2,12591553 | 0,00006104 | да |
| 2,12591553 | 2,12597656 | 2,12594604 | 0,00003277 | -0,00004492 | -0,00000608 | 2,12594604 | 0,00003052 | да |
| 2,12591553 | 2,12594604 | 2,12593079 | 0,00003277 | -0,00000608 | 0,00001335 | 2,12593079 | 0,00001526 | да |
Приближенное решение 
, погрешность 
, число итераций 
.
Следовательно, приближенное значение корня равно 
. Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле. Имеем 
, 
, 
. Округлим 
до . Получим 
, 
, 
. Найдем число верных знаков для . Имеем 
, , 
. Так как 
, то получим приближенное значение корня с числом верных знаков . Ответ: 
***
Вопросы самоконтроля. (Вопросы и ответы на них записать в тетрадь)
1) Как отделяются корни уравнения и какой должна быть величина шага при отделении корней?
2) Какие условия должны быть выполнены для применения метода половинного деления отрезка?
3) Какова идея метода половинного деления отрезка? Геометрическая иллюстрация.
4) Как вычисляется приближенный корень уравнения и какова его погрешность?
5) Как зависит погрешность результата от выбора приближенного решения?
| № | Уравнения для самостоятельного решения | 
| 
| 6lg(3x)+3x -9=0 | |||
| 
| 
| 4Ctg(x) -(2x-4)0,5-=0 | ||||
| 
| 
| 4Cos(x) -(2x-3)0,5-=0 | ||||
| 
| 
| 2x3 -19Cos(x)+1=0 | ||||
| 
| 
| 2+ln(2x)-22x =0 | ||||
| 
| 
| Ctg(2x) -(x-4)0,5-=0 | ||||
| 
| 
| 2x4 -10Cos(x)+1=0 | ||||
| 
| 
| tg(3x) -(2x-4)0,4-=0 | ||||
| 
| 
| 6lg(x)+5x -8=0 | ||||
| 
| 
| 2tg(x) -ln(2x+5)=0 | ||||
| 
| 
| 2x3 -15Cos(x)+5=0 | ||||
| 
| 
| 2x5-3x4 +5x3 -4=0 | ||||
| 
| 
| 4Ctg(x) -ln(2x-4)=0 | ||||
| 
| 
| 12x4-3x3 +5x3+7=0 | ||||
| 
|
| 2x3 -9Cos(2x)+1=0 | ||||
| 
| 2x2 -19Cos(x)+1=0 | 6+ ln(2x)-22x =0 | ||||
| 
| 3ln(2x)+2x +2=0 | (2x-4)0,3-4Cos(x)=0 | ||||
| 
| 3ln(x)+2x +4=0 | 5-ln(2x)+22x =0 | ||||
| 
| 2ln(2x)+3x +2=0 | 10x5+3x4 -5x3 -x=0 | ||||
| 
| 3ln(x2)+2x +2=0 | 2x0,5-3x +5x3 -4=0 | ||||
| 
| 6ln(2x)+22x -7=0 | 4ln(2x)+32x -7=0 | ||||
| 
| (2x-3)0,5-4Cos(x)=0 | (2x-3)0,5+4Cos(x)=0 | ||||
| 
| 4tg(x) -(2x-4)0,5-=0 | |||||
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
| ||||
|
|
| 6ln(2x)+22x -7=0 | 2x2 -19Cos(x)+1=0 |
