Минимум задач по курсу высшей математики.
Комплексные числа и действия над ними
1. Найдите 
, 
, 
, если 
, 
, 
.
2. Число 
запишите в показательной и тригонометрической формах.
3. Найдите 
, 
.
4. Решите уравнения а) 
; б) 
; в) 
.
Линейная алгебра
1. Даны матрицы 
, 
. Найдите матрицы 
и 
, 
.
2. Найдите 
, если а) 
, б) 
.
3. Решите матричные уравнения 
, 
, 
, 
.
4. Найдите ранг матрицы 
.
Превратите данный базис в ортогональный 
, 
, 
5. Найдите общее решение системы
6. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений
7. Найдите те значения параметра 
при которых система
имеет нетривиальные решения и найдите одно из них.
8. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора 
заданного матрицей 
, 
, 
, 
.
Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора 
Найдите ядро линейного оператора
Найдите область значений линейного оператора
Найдите инвариантные подпространства линейного оператора
9. Приведите квадратичную форму 
к главным осям и найдите соответствующее преобразование координат.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1. Докажите, что векторы 
и 
можно принять в качестве векторов базиса на плоскости. Найдите координаты вектора 
относительно этого базиса. Запишите соответствующее преобразование координат.
2. Докажите, что векторы , , можно принять в качестве векторов базиса в пространстве. Найдите координаты вектора 
относительно этого базиса. Запишите соответствующее преобразование координат.
3. Даны три точки 
, 
, 
. Найдите длину проведённой из вершины 
высоты треугольника 
.
4. Найдите проекцию вектора 
на ось, определяемую вектором 
.
5. Пусть 
, 
. Найдите 
и 
, если 
, 
и угол между векторами 
и 
равен 
.
6. Докажите, что векторы 
, 
, 
компланарны (лежат в одной плоскости).
7.Найдите косинус угла между векторами 
, 
.
8. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
9. Запишите уравнение прямой а) проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
, б) проходящей через точку параллельно вектору 
, в) проходящей через точки 
.
10. Запишите уравнение прямой проходящей через точку а) перпендикулярно прямой 
, б) параллельно прямой .
11. Запишите уравнение плоскости а) проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
, б) проходящей через точку 
параллельно векторам 
, 
, в) проходящей через точки 
.
12. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно плоскости 
.
13. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно вектору .
14. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой 
.
15. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости 
.
16. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой 
.
17. Постройте кривую 
в исходной системе координат, приведя предварительно её уравнение к главным осям.
