Пример выполнения работы в среде Excel

Задание

Изучить теоретический материал, изложенный в лекции «Вычисление определенных интегралов» и в данных методических указаниях.

Задача. Средствами Excel и Mathcad вычислить интеграл вида ,

где f (x) – подынтегральная функция, непрерывная на [ a, b ];

a, b – нижний и верхний пределы интегрирования.

Требуется в среде Excel вычислить значения интеграла S _л, S _п, S _с соответственно методами левых, правых и средних прямоугольников, а также S _т1, S _т2 методом трапеций для двух разных разбиений n ₁=10, n ₂=20, по которым определить уточнение S _р по Ричардсону. Для визуальной оценки точности вычислений требуется также вычислить точное значение интеграла J, для чего в качестве подынтегральных функций f (x) в приводимой ниже таблице вариантов выбраны такие функции, для которых известны первообразные функции F (x) в аналитическом виде (они также даны в таблице вариантов). Значение J вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Решить указанную задачу в среде Mathcad.

Для защиты лабораторной работы представить на компьютере Excel-файл и Mathcad-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете представить:

1) значения интеграла S _л, S _п, S _с, вычисленные методами левых, правых, средних прямоугольников для n =20;

2) значения интеграла S _т1, S _т2, вычисленные методом трапеций для n ₁=10 и n ₂=20;

3) уточнение по Ричардсону S _р;

4) точное значение определенного интеграла J, вычисленное по формуле Ньютона-Лейбница;

5) ошибки R _л, R _п, R _с, R _т1, R _т2, R _р значений S _л, S _п, S _с, S _т1, S _т2, S _р по сравнению с J;

6) значение интеграла J _M, вычисленное в Mathcad.

Краткие теоретические сведения

1) Формула Ньютона-Лейбница аналитического вычисления определенного интеграла: , где .

2) Точное (аналитическое) значение определенного интеграла J и значение S, полученное каким-либо численным методом интегрирования, связаны соотношением

,

где R – ошибка данного численного метода.

3) Методы прямоугольников:

	Метод левых прямоугольников	Метод правых прямоугольников	Метод средних прямоугольников
Геометрическая интерпретация
Вычислительная формула
Главный член погрешности метода

где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования,

n - количество разбиений промежутка интегрирования,

- шаг разбиения.

4) Метод трапеций:

Геометрическая интерпретация:
Вычислительная формула
Главный член погрешности

5) Уточнение по Ричардсону:

,

где , - значения интеграла, вычисленные методом трапеций для шага разбиения промежутка интегрирования h ₁ и h ₂ соответственно.

Пример выполнения работы в среде Excel

		A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
	Вычисление определенного интеграла от функции f = 1/(sinx cosx)
		Промежуток интегрирования:	a		b
						0,2		1,4
		1. Методы прямоугольников		2.Метод трапеций
		N=			h=	0,06		N1=			N2=
		левые и правые		средние		h1=	0,12		h2=	0,06
		x	f(x)		x	f(x)		x	f(x)		x	f(x)
		0,20	5,13586		0,23	4,50503		0,20	5,13586		0,20	5,13586
		0,26	4,02512		0,29	3,64948		0,32	3,34899		0,26	4,02512
		0,32	3,34899		0,35	3,10454		0,44	2,59491		0,32	3,34899
		0,38	2,90309		0,41	2,73543		0,56	2,22197		0,38	2,90309
		0,44	2,59491		0,47	2,47660		0,68	2,04527		0,44	2,59491
		0,50	2,37679		0,53	2,29264		0,80	2,00085		0,50	2,37679
		0,56	2,22197		0,59	2,16308		0,92	2,07473		0,56	2,22197
		0,62	2,11465		0,65	2,07564		1,04	2,29060		0,62	2,11465
		0,68	2,04527		0,71	2,02296		1,16	2,73138		0,68	2,04527
		0,74	2,00827		0,77	2,00095		1,28	3,64063		0,74	2,00827
		0,80	2,00085		0,83	2,00798		1,40	5,97036		0,80	2,00085
		0,86	2,02247		0,89	2,04458					0,86	2,02247
		0,92	2,07473		0,95	2,11349					0,92	2,07473
		0,98	2,16167		1,01	2,22027					0,98	2,16167
		1,04	2,29060		1,07	2,37437					1,04	2,29060
		1,10	2,47373		1,13	2,59150					1,10	2,47373
		1,16	2,73138		1,19	2,89824					1,16	2,73138
		1,22	3,09869		1,25	3,34184					1,22	3,09869
		1,28	3,64063		1,31	4,01396					1,28	3,64063
		1,34	4,49060		1,37	5,11660					1,34	4,49060
		1,40	5,97036								1,40	5,97036
		Первообразная F=ln(tgx)
		J=	3,35347	ошибка метода
		Sл=	3,34562	Rл=	0,007856
		Sп=	3,39569	Rп=	0,042214
		Sc =	3,34495	Rc=	0,008521
		Sт1=	3,42029	Rт1=	0,066822
		Sт2=	3,37065	Rт2=	0,017179
		Sр =	3,35410	Rр=	0,000632