Ответ: две выплаты по 2 622 050 рублей

Решение задач с банковскими процентами.

Вашему вниманию предлагается серия задач, аналогичных тем, что предлагаются к решению учащимся, изучающим математику на профильном уровне. Т.к. данный материал отсутствует в ныне действующих учебниках и пособиях, то возникла необходимость каким-то образом сделать его доступным для учащихся, дать им представление об основных видах таких задач и методах их решения. Ниже рассмотрена серия задач с подробным решением, которая может быть использована как учебное пособие при изучении данной темы.

Задача 1. (Виленкин Н.Я. Алгебра 9. Уч-к для углубленного изучения математики. №202)

Вкладчик внес в банк 12000 р. Банк выплачивает 3% годовых. Через 2 года 3 месяца и 7 дней вкладчик закрыл счет. Какую сумму выплатил банк?

Решение: В данной задаче не сказано, что начисление процентов происходит ЕЖЕГОДНО. Т.е. имеет место задача с начислением простых процентов. Поэтому выплата банка через означенный период составит: 12000 (собственно вклад) + (процент за два года) + (процент за 3 месяца) + (процент за 7 дней). Т.е: 12000 + 720 + 90 + 6,90 = 12816,9 рублей

Ответ 1: 12816,9 рублей

Примечание 1: Задача составлена не очень корректно. Должно быть сказано: «3% годовых за весь период хранения».

Примечание 2: В действительности в банках происходит ежегодное начисление процентов. Т.е. через год происходит начисление процентов на проценты.

Коэффициент увеличения ставки . Тогда за первые два года будет начислено: рублей. А за о с тавшийся период: руб. И общая сумма составит: 12833,61 руб.

Ответ 2: 12833,61 руб.

Задача 2. (Математика ЕГЭ-2015. 30 вариантов +800 задач. Вариант 2)

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на 14,5%), Затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил платеж двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение: Пусть сумма кредита S, процент по кредиту а = 14,5%, транш по кредиту, т.е. сумма возврата банку, Х.

Тогда долг через год , где . Очевидно, что, S₁ меньше S, т.к. часть долга банку погашается. Через два года кредит полностью выплачен, поэтому:

, откуда ;

Ответ: две выплаты по 2 622 050 рублей

Задача 3. (Математика ЕГЭ-2015. 30 вариантов +800 задач. Вариант 4)

31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на 14%), Затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами?

Решение: Аналогично предыдущей задаче, необходимо использовать формулу

. Только в данном случае необходимо выразить собственно сумму кредита, т.е. S:

Ответ: 7 490 000 рублей

Задача 4. (Математика ЕГЭ-2015. 30 вариантов +800 задач. Вариант 19)

31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на а%), Затем Евгений переводит в банк очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540 тыс. рублей, а во второй 649,6 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Евгению?

Решение: Отличие данной задачи от предыдущих задач заключается в том, что в формуле выплаты кредита за второй год присутствуют два различных значения транша, т.е. Х ₁ и Х ₂:

Или:

. Т.к. банковский коэффициент не может быть отрицательным, то:

а = 12%

Ответ: 12 %

Задача 5. (Математика ЕГЭ-2015. 30 вариантов +800 задач. Вариант 1)

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс.рублей?

Решение: Пусть сумма взятого кредита S, ставка по кредиту a %, а коэффициент увеличения ставки . Тогда долг через месяц составит S b. После погашения части долга Х, остаток кредите составит:

Через два месяца:

Через 3 месяца:

Через 4 месяца:

Т.о. через n месяцев: .

Подставляя данные, получаем следующее выражение:

Ноль в правой части формулы означает, что весь кредит будет погашен. Из данного неравенства выразим выражение, содержащее степень:

, откуда:

Используем формулу для приближенного вычисления значений, близких к единице:

, . Т.к. , то n = 5

Ответ: 5

Задача 6. (http://alexlarin.net/ege/2015/trvar86.html)

В банк помещена сумма 3 900 000 рублей под 50 % годовых. В конце каждого из первых четырех лет, после начисления процентов, вкладчик вносит одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился на 725%. Какую сумму вкладчик вносил в банк ежегодно?

Решение: Задача очень похожа на предыдущую, где на протяжении нескольких месяцев ежемесячно погашалась часть кредита, но в данном случае происходит не уменьшение общей суммы, а увеличение.

Сумма вклада через год после внесения дополнительного взноса Х:

Через два года:

Через 3 года:

Через 4 года:

Через 5 лет:

Т.к. вклад увеличился на 725%, следовательно, он составил 825% = 8,25.

млн. рублей

Данная задача может быть рассчитана и в простых дробях:

Ответ: 210 000 рублей

Задача 7.

За время хранения вклада в банке процент по нему начислялся ежемесячно в размере 5%, затем 8% и, наконец, 11¹/₉ %. Известно, что под действием каждой процентной ставки вклад находился целое число месяцев. По истечению срока хранения первоначальной суммы вклад увеличился на 96%. Определите срок хранения вклада.

Решение: Пусть изначально сумма была равна S. Тогда через месяц, после начисления процентов, мы имеем: , а через два месяца, при той же ставке:

, а через n месяцев .

Т.к. мы не знаем с какой процентной ставкой какой срок лежал вклад, то индекс n надо пронумеровать:

После преобразования:

Т.к. число 7 встречается в левой части только в первой дроби, а в правой части встречается во второй степени, то n₁= 2. Тогда: , откуда n₃ = 4 и, следовательно, n₂ = 2.

Ответ: 2 + 4 + 2 = 8 месяцев

Задача 8. (Корешкова Т.А., Шевелева Н.В. «ЕГЭ 2015. Математика. Тренировочные задания. 40 вариантов» Вариант 35)

Некоторая сумма, больше 1000 рублей, была помещена в банк, и после первого года хранения проценты, начисленные на вклад, составили 400 рублей. Владелец вклада добавил на счет 600 рублей. После второго года хранения и начисления процентов сумма на вкладе стала равна 5500 рублей. Какова была первоначальная сумма вклада, если процентная ставка банка для первого и второго года хранения была одинакова?

Решение: Доход по вкладу через год хранения: рублей (1).

Тогда через год сумма вклада составила: . К началу второго года, после внесения дополнительной суммы: .

Через два года процент за хранение вклада будет составлять .

А собственно сумма вклада может быть представлена формулой:

или (2).

Выразим из уравнения 1 сумму вклада: и подставим ее в уравнение 2:

Легко увидеть, что корнями уравнения являются числа 400 и 10. Для первого случая сумма, помещенная в банк, равна 100, а для второго – 4000.

Т.к. по условию сумма больше 1000, то ответ – 4000 рублей.

Ответ: 4000 рублей

Задача 9. (Корешкова Т.А., Шевелева Н.В. «ЕГЭ 2015. Математика. Тренировочные задания. 40 вариантов» Вариант 40)

Цена некоторого товара была повышена сначала на 10%, затем еще на 120 рублей и, наконец, еще на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%?

Решение: Пусть первоначальная цена товара равна S. Тогда после первого повышения цена товара составила

После второго повышения цена составила:

После третьего:

Т.к. цена увеличилась на 31,25%, то она составила 131,25% или 1,3125S.

Откуда: Или:

Ответ: 800 рублей

Задача 10. (http://alexlarin.net/ege/2015/trvar85.html)

Фермер получил кредит в банке под определенный процент. Через год фермер вернул в банк в счет погашения кредита ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту?

Решение: Пусть сумма кредита S, тогда через год сумма к возврату Sb. Сумма долга после выплаты ¾ кредита составила 1/4 Sb.

Через два года оставшаяся часть по кредиту увеличилась в b раз: 1/4 Sb² и составила 121% первоначальной суммы:

.Откуда: Или:

Т.к. то получаем:

Ответ: 120%

Задача 11. (http://alexlarin.net/ege/2015/trvar91.html)

Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение: Пусть у первого брокера было А акций, а у второго В акций. Тогда стоимость всех акций составляла: руб.

После подорожания акции на к %, стоимость акции увеличилась в в раз, где .

Тогда выручка от продажи акций первым брокером составила 0,75 Ав, а вторым брокером 0,8 Вв. При этом выручка второго брокера больше НА 140 %, т.е. составила 240 % выручки первого брокера. Или 2,4 части выручки первого брокера.

Составим систему уравнений:

Из третьего уравнения . После подстановки данных во второе уравнение находим, что после подорожания все акции первого и второго брокеров соответственно стоили: и рублей. Таким образом, стоимость акций увеличилась в раз. Или на 37,5 %.

Ответ: 37,5 %.