Лекции.Орг


Поиск:




Задачи для самостоятельного решения.

Алгебраические многочлены.

 

Многочленом степени n от переменной х называется функция вида , где числа a0, a1, …, an называются коэффициентами многочлена, причём a0≠0старший коэффициент, anсвободный член.

Если a0=1, многочлен называется приведённым.

Теорема о делении многочленов. Для любых двух многочленов P(x) и Q(x) можно найти такие многочлены S(x) и R(x), что P(x)=Q(x)∙S(x)+R(x), причём степень R(x) меньше степени Q(x) или же R(x) 0. Многочлены S(x) и R(x) определяются однозначно.

Многочлен S(x) называется частным от деления P(x) на Q(x), а R(x)остатком от этого деления.

Если остаток от деления P(x) на Q(x) равен нулю, то Q(x) называется делителем многочлена P(x).

Процесс деления многочленов аналогичен процессу деления натуральных чисел “столбиком” и осуществляется таким образом, чтобы на каждом промежуточном этапе деления исчезала старшая степень делимого многочлена.

Пример 1. Разделить многочлен на многочлен

Решение.

   
   
   
   
   
         

 

Для деления многочлена Pn(x) на двучлен x-c удобно применять схему Горнера. Всякий многочлен единственным образом представим в виде Pn(x)=(x-c)Qn-1(x)+R, где – неполное частное, а число R – остаток. Коэффициенты Qn-1(x) и R вычисляются по формулам:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Многочлены. Стр.1

Для вычисления по схеме Горнера используют таблицу, верхняя строка которой задана, а нижняя заполняется в соответствии с формулами (*):

  a0 a1 an-1 an
с b0 b1 bn-1 R

Пример 2. Разделить, пользуясь схемой Горнера, многочлен P5(x)=15-2x3+7x на x-1.

Решение.

  -2 0 7 15
1 -2 0+1∙(-2)= -2 7+1∙(-2)= 5 15+1∙5= 20

Следовательно, Q2(x)=-2x2 - 2x +5, R=20. В результате имеем:

15 - 2x3 + 7x = (-2x2 2- 2x +5)(x-1) + 20.

 

Теорема о тождественности многочленов. Многочлены P(x) и Q(x) тождественно равны (a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an b0xn+b1xn-1+…+bn-1x+bn) тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.

Число x0 называется корнем многочлена P(x), если P(x0)=0.

Теорема Безу. Число x0 является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) без остатка делится на x-x0, т.е. когда P(x) можно представить в виде P(x)=(x-x0)∙Q(x)

Следствия: 1. Если x1, …, xn – корни многочлена Pn(x), то он представляется в виде Pn(x)=a0(x-х1)(x-x2) … (x-xn). 2. Остаток от деления многочлена Pn(x) на x-c равен числу Pn(c).

Подбор целого и рационального корней многочлена.

1. Если многочлен имеет целый корень, то этот корень находится среди делителей свободного члена этого многочлена.

2. Если многочлен имеет рациональный корень , то число m находится среди делителей свободного члена, а число n является делителем старшего коэффициента этого многочлена.

 

Задачи для самостоятельного решения.

№1. Разделить многочлен P(x)=4x4-16x3+3x2-5x+17 на многочлен Q(x)=2x2-3x+1.

№2. Разделить многочлен P(x)=x4+2x3-3x2-4x+1 на линейный многочлен Q(x)=x+1, пользуясь схемой Горнера.

№3. Разложить многочлен P(x)=2x4-5x3+3x2-x-2 на множители на множестве комплексных чисел.

№4. Разложить многочлен P(x)=6x4+11x3+26x2-9x-10 на множители на множестве комплексных чисел, если известны два его корня и .

Домашнее задание.

№1. Разделить многочлен P(x)=6x6-4x5+2x3-3 на многочлен Q(x)=x2-x+2.

№2. Разделить многочлен P(x)=2x4-x+1 на линейный многочлен Q(x)=x+3, пользуясь схемой Горнера.

№3. Разложить многочлен P(x)=x5-3x4-3x3-23x2-54x-30 на множители на множестве комплексных чисел.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Многочлены. Стр.2



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Вычисление производных от сеточного решения на треугольных элементах | 
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2017-04-04; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 304 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Люди избавились бы от половины своих неприятностей, если бы договорились о значении слов. © Рене Декарт
==> читать все изречения...

1031 - | 843 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.013 с.