Если известны узловые значения функции на треугольной МКЭ-сетке, а требуется вычислить ее производные в тех же узлах (например, скорость как градиент давления в задаче фильтрации), то непосредственное дифференцирование не применимо, т.к. может давать большие ошибки из-за того, что градиент сеточного решения терпит разрыв на границе между элементами. В связи с этим рассмотрим следующую процедуру вычисления поля производных.
Пусть задана 
‑ сеточная функция со значениями в узлах МКЭ-сетки треугольных линейных элементов 
, покрывающих область 
. Требуется найти вектор
(1)
Для решения задачи (1) запишем интегральное тождество (в нем 
‑ произвольная пробная функция)
(2)
Интегралы по элементам вычислим с помощью базисного треугольника 
в локальных координатах 
.
Пусть на 
задана функция 
. Ей соответствует функция 
, причем соответствие 
определено формулами (3), а обратное – соотношениями (4).
Рис. 1. Базисный треугольник и его отображение на элемент сетки 
Матрица Якоби 
отображения базисного треугольника (см. рис. 1) на произвольный КЭ с вершинами 
определяется формулами
(3)
Обратное преобразование, очевидно, имеет вид
(4)
где якобиан преобразования равен
. (5)
Дифференцирование произвольной функции 
(6)
Интегрирование произвольной функции
. (7)
Пользуясь формулами (3) ‑ (7) и разложением функций 
вида
в интегральном тождестве (2) по базису
(8)
получим систему уравнений
(9)
Коэффициенты матрицы масс в левой части (9) собираются из элементных (для каждого КЭ ) матриц масс
(10)
Процедура поэлементной сборки глобальной матрицы 
размерности 
такова.
1. Все элементы обнуляются.
2. В цикле по элементам 
для каждого вычисляется элементная матрица (10) и ее элементы 
добавяются к соответствующим элементам глобальной матрицы. «Соответствующий» определяется соответствием локальных номеров индексов 
как вершин треугольника и глобальных номеров 
узлов МКЭ-сетки, которые прописаны в Таблице 2 – Таблице связности, а именно в её строке 
для элемента . Например, для элемента 
, см. рис. 1, строка 27 Таблицы связности имеет вид 18, 19, 23; поэтому локальное значение 
следует добавить к глобальному элементу матрицы масс 
.
Правая часть глобальной системы (9) – векторы сил 
‑ тоже собирается из элементных вкладов ‑ векторов, которые вычисляются на основе следующих соотношений.
Выражение в фигурных скобках как раз порождает правую часть системы (9), это вектор, который равен произведению элементной матрицы с элементами
(11)
на заданный элементный вектор 
; индекс указывает на номер КЭ. Заметим, что (11) определяет две матрицы 
и 
, соответствующие компонентам вектора 
. Вычислим матрицу (11) на базисном треугольнике с помощью формул (6), (7).
(12)
При линейном базисе (8) выражения в квадратных скобках не завмсят от координат и выносятся из-под интеграла. Компоненты градиента базисных функций находим дифференцированием:
(13)
Непосредственным интегрированием (7) базисных функций (8) показываем, что интегралы от всех 
по равны 
. Поэтому все строки матриц (12) одинаковы и определяются тремя копонентами. Для матрицы это
(14)
Аналогично для матрицы с использованием (13) из (12) получаем
(15)
Поскольку матрицы (14) и (15) имеют специальный вид (у каждой из них все три строки одинаковы), то произведения этих матриц на элементный вектор дадут два вектора с тремя одинаковыми компонентами:
(16)
Здесь индекс указывает на элемент . Из элементных векторов (16) в цикле по всем конечным элементам сетки собираются правые части двух систем уравнений (9).
