Бутылка Клейна
(2 слайд) Бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.
(3 слайд) Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве. (4 слайд)
В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара, можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).
(5слайд) Более формально, бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата 
, отождествляя точки 
при 
и 
при 
, как показано на первой диаграмме. Следующие диаграммы показывают как эта топология погружается в бутылочную форму 3D.
Слайд)Параметризация
Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:
В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа 
равна радиусу круга. Параметр 
задаёт угол на плоскости XY и 
обозначает положение около 8-образного сечения.
Слайд) Свойства
Если рассечь бутылку Клейна на две половинки вдоль плоскости симметрии, то получатся две зеркальных ленты Мебиуса, одна - с разворотом вполоборота вправо, другая - с разворотом вполоборота влево. Фактически, возможно рассечь бутылку Клейна так, что получится одна лента Мебиуса.
Иначе, бутылка Клейна может быть представлена в виде двух лент Мебиуса, соединенных друг с другом обычной двухсторонней лентой. На рисунке ниже внутренняя поверхность этой ленты окрашена белым цветом, а внешняя - голубым.
Бутылка Клейна может быть создана из одного цилиндра. Один из краев цилиндра загибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. На рисунке ниже показано это преобразование. Для наглядности внешняя сторона цилиндра окрашена в белый цвет, а внутренняя - в зеленый.
Интересные факты
(8 слайд) В сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.
(9 слайд) В рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения.
(10 слайд) Бутылке Клейна посвящен один из шуточных лимериков Джеймса Линдона:
Некто Клейн, не любивший вина,
Раз придумал бутылку без дна.
Восклицал он: «К тому же
Что внутри-в ней снаружи!
Даже пробка совсем не нужна!»
слайд) спасибо за внимание!
