Взаимная электроемкость. Конденсаторы

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Электроемкость уединенного проводника

 

Рассмотрим процесс зарядки удаленного от других тел (уединенного) проводника (рис. 1).

Сообщим ему заряд q. В результате этого заряд проводника станет равным . В разделе электростатики, посвященном проводникам, находящимся в электростатическом поле, доказывается, что такой заряд обязательно распределится по поверхности проводника так, чтобы напряженность поля внутри проводника стала равной нулю(), а его поверхность стала эквипотенциальной. Пусть значение потенциала этой поверхности равно .

Если теперь вновь сообщить проводнику такой же заряд q, то предыдущий заряд на проводнике не будет влиять на распределение нового заряда, так как внутри проводника напряженность поля , а на поверхности проводника тангенциальная составляющая напряженности . Следовательно, новый заряд q распределится по поверхности точно так же, как и первый. В этом случае, очевидно, и заряд и потенциал проводника увеличатся вдвое:

, .

При сообщении проводнику заряда q в n -й раз все повторится: , .

Таким образом, потенциал уединенного проводника будет все время пропорционален находящемуся на нем заряду . Записывается это в виде соотношения

, (1)

где С – коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника.

Для выяснения физического смысла коэффициента С перепишем формулу (1) так:

. (2)

В соответствии с (2) электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который нужно сообщить этому незаряженному проводнику, чтобы его потенциал стал равным единице .

Единицей емкости является фарад (Ф), .

Теперь найдем выражение для емкости уединенного проводящего шара радиуса R, находящегося в однородном и изотропном безграничном диэлектрике с проницаемостью e (рис. 2). Для этого сообщим шару заряд q и вычислим его потенциал j по формуле, связывающей потенциал с напряженностью :

, (3)

где .

Сопоставив (3) с (2), получим искомую формулу для емкости уединенного проводящего шара:

. (4)

Из выражения (4) следует, что электроемкость уединенного проводящего шара определяется его размерами (R) и диэлектрическими свойствами среды (e), в которой он находится. Следует заметить, что в общем случае электроемкость уединенного проводника зависит также от его формы.

 

 

Взаимная электроемкость. Конденсаторы

Рассмотрим практически важный случай двух близко расположенных друг от друга металлических проводников.

Пусть проводники имеют форму тонких сферических концентрических оболочек с радиусами и , пространство между которыми заполнено однородным и изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e (рис. 3).

Сообщим этим проводникам равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку заряды и . Вследствие взаимного притяжения, эти заряды равномерно распределятся по обращенным друг к другу поверхностям сферических оболочек так, как показано на рис. 3 (точно так же распределятся заряды и в случае, если внутренняя оболочка будет заменена металлическим шаром). В результате между металлическими оболочками возникнет электростатическое поле, обладающее сферической симметрией, которое совершенно не будет зависеть от внешних электростатических полей. В этом случае роль электростатического экрана выполняет внешняя металлическая сферическая оболочка радиуса .

Разность потенциалов между рассматриваемыми оболочками находится по известной формуле, которая применительно к нашему случаю будет иметь вид

, (5)

где E – величина напряженности поля между оболочками на произвольном расстоянии r от их центра; dr – модуль вектора элементарного перемещения по радиальному направлению.

Подставляя формулу в (5), получаем пропорциональную зависимость между разностью потенциалов и абсолютной величиной заряда q на каждой из оболочек:

. (6)

Действительно, вследствие наложения полей между оболочками при возрастании величины заряда q в n раз напряженность поля увеличивается также в n раз в каждой точке между оболочками, а значит, увеличивается в n раз разность потенциалов между ними.

Обычно пропорциональность между и q записывается в виде

, (7)

где С – коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью конденсатора.

При этом рассмотренную систему из двух концентрических металлических оболочек называют конденсатором, а сами оболочки – обкладками конденсатора. Электроемкость конденсатора представляет собой взаимную электроемкость его обкладок.

В общем случае конденсатор (простой конденсатор) представляет собой систему из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга, и обладающую относительно большой взаимной электроемкостью. Заряды обкладок разноименны по знаку и равны по абсолютной величине.

Под емкостью конденсатора по аналогии с (2) понимают отношение

, (8)

где q – абсолютная величина заряда на каждой из обкладок; – разность потенциалов между обкладками.

В соответствии с (8) электроемкость конденсатора численно равна абсолютной величине заряда, находящегося на каждой из его обкладок, если разность потенциалов между обкладками равна единице . Часто в этой формуле разность потенциалов называют напряжением U между обкладками. Тогда формула (8)принимает вид

. (9)

Емкость конденсаторов измеряется в тех же единицах, что и емкость уединенных проводников – в фарадах (Ф).

По форме обкладок конденсатор, изображенный на рис. 3, называется сферическим. Сопоставив (6) с (8), получим формулу для емкости сферического конденсатора:

. (10)

Сравнивая (10) и (4), легко увидеть, что при почти одинаковых размерах емкость сферического конденсатора может быть значительно больше емкости уединенного проводящего шара (сферы)

с радиусом, равным радиусу внутренней обкладки конденсатора:

.

Например, при одинаковой диэлектрической среде, радиусе и величине зазора между обкладками, равной , емкость сферического конденсатора примерно в 100 раз больше емкости уединенного проводящего шара (сферы).

Расчет и опыт показывают, что если внешнее тело попадает в поле конденсатора, то на поверхности этого тела появляются индуцированные (если тело – проводник) или связанные (если тело – диэлектрик) заряды, которые изменяют разность потенциалов между обкладками конденсатора и, следовательно, изменяют его емкость. Чтобы внешние тела не влияли на емкость, обкладкам придают такую форму и так их располагают друг относительно друга, чтобы поле заряженного конденсатора было сосредоточено только в пространстве между ними. При этом заряды на обкладках должны быть одинаковыми по абсолютной величине и противоположными по знаку ( и ). С помощью теоремы Гаусса легко показать, что такому условию удовлетворяют близко расположенные друг к другу обкладки, имеющие вид: а) двух концентрических сфер; б) двух коаксиальных цилиндров; в) двух параллельных плоскостей. Соответственно различают сферический, цилиндрический и плоский конденсаторы.

Найдем формулу для емкости самого распространенного в технике плоского конденсатора. Его поле, являющееся однородным, изображено на рис. 4. На рисунке показано искажение поля конденсатора на краях обкладок, называемое краевым эффектом. Расчет по теореме Гаусса дает формулу для напряженности E поля плоского конденсатора без учета краевого эффекта:

,

где – поверхностная плотность заряда на обкладке конденсатора.

Выразим величину напряженности E поля плоского конденсатора через площадь обкладки S и абсолютную величину заряда q на ней:

.

Для однородного поля разность потенциалов между обкладками

,

где d – расстояние между плоскими обкладками.

Отсюда, на основании (8), получаем формулу для емкости плоского конденсатора

, (11)

где e – диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего зазор между обкладками; d – величина зазора между обкладками; S – площадь обкладки.

Чем меньше величина зазора d по сравнению с линейными размерами обкладок, тем меньше краевой эффект, тем точнее формула (11) определяет емкость реального плоского конденсатора.

Цилиндрический конденсатор состоит из двух тонких металлических обкладок в виде коаксиальных цилиндров длиной h с радиусами и , пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e (рис.5).

Если обкладкам сообщить равные по величине, но противоположные по знаку заряды и , то последние, равномерно распределившись, создадут между обкладками электрическое поле, обладающее цилиндрической симметрией (краевым эффектом мы здесь пренебрегаем). Это означает, что линии напряженности поля направлены радиально, а модуль вектора , рассчитанный по теореме Гаусса, является функцией только расстояния r от оси конденсатора:

, (12)

где – линейная плотность заряда на обкладке конденсатора.

Выразим (12) через величину заряда q на каждой из обкладок и длину h конденсатора:

. (13)

Разность потенциалов между обкладками находится по формуле

, (14)

где E – величина напряженности поля между цилиндрическими обкладками на произвольном расстоянии r от их оси; dr – модуль вектора элементарного перемещения по радиальному направлению.

Подставляя (13) в (14), получаем

.

Отсюда в соответствии с (8) находим формулу для емкости цилиндрического конденсатора

. (15)

Эта формула определяет емкость реального конденсатора тем точнее, чем меньше зазор между обкладками по сравнению с h и .

Из формул (10), (11) и (15) следует, что емкость конденсаторов определяется формой и размерами их обкладок, величиной зазора между ними, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

Кроме емкости конденсатор характеризуется пробивным напряжением, при котором возможен его пробой, т.е. электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина пробивного напряжения зависит от свойств диэлектрика, его толщины и формы обкладок.

 

 

Соединения конденсаторов

 

Для подбора необходимых значений емкости и рабочего напряжения конденсаторы соединяют в батареи. При этом используется их параллельное и последовательное соединение. Применяется также комбинация этих соединений. Для простоты ограничимся случаем трех конденсаторов.

 

3.1. Параллельное соединение конденсаторов

 

При параллельном соединении напряжение между обкладками конденсаторов одинаково и равно напряжению на батарее:

. (16)

Заряд батареи равен сумме зарядов каждого конденсатора:

. (17)

В соответствии с (9) преобразуем выражение (17):

,

откуда получаем формулу для емкости батареи конденсаторов:

(18)