Алгебраические операции и их свойства

Операции над множествами их свойства.

Операции

ОБЪЕДИНЕНИЕ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

РАЗНОСТЬ

ДОПОЛНЕНИЕ

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Определение

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств. хÎ АÈВ Û х ÎА или хÎ В

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из данных множеств. х Î АÇВ Û х Î А и х Î В

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих во множество А, но не входящих во множество В. хÎ А\ В Û х Î А и х Ï В

Дополнением множества. В до множества А, при условии, что В является подмножеством А, называется множество, состоящее из элементов, входящих во множество А, но не входящих во множество В. при В Í А хÎ

Û хÎ А и хÏ В

Декартовым произведением множеств А и В, называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первой компонентой является элемент множества А, а второй – элемент множества В. А´В ={(а;b)| аÎА и bÎ В}

Графическое изображение

А В А È В

А В А Ç В

А В А \ В

А В

А ´ В

Д и а г р а м м ы Э й л е р а - В е н н а

график

Операции

ОБЪЕДИНЕНИЕ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

РАЗНОСТЬ

ДОПОЛНЕНИЕ

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Свойства операций

А È В = В È А (А È В) È С = А È (В È С) (АÈВ)ÇС=(А ÇС) È (ВÇС) (АÇВ)ÈС=(АÈС)Ç(ВÈС) (АÈВ)\ С=(А\ С)È(В \ С) (АÈВ)´С =(А´С)È(В´С) С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\В) С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В)

А Ç В = В Ç А (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С) (АÈВ)ÇС=(АÇС) È (ВÇС) (АÇВ)ÈС=(АÈС)Ç(ВÈС) (АÇВ)\С=(А\С)Ç(В\С) (А\ В)ÇС=(АÇС)\ (ВÇС) (АÇВ)´С=(А´С)Ç(В´С) С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В) С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\ В)

(АÈВ)\ С=(А\С)È(В\С) (АÇВ)\С=(А\С)Ç(В\С) (А\ В)ÇС=(АÇС)\ (ВÇС) (А\ В)´С = (А´С) \ (В´С) С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В) С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\ В)

В Ë А,

- не существует (АÈВ)

Ç B

(АÇВ)

È B

(АÈВ)´С =(А´С)È(В´С) (АÇВ)´С=(А´С)Ç(В´С) (А\ В)´С = (А´С)\ (В´С)

Частные случаи

А ÈÆ = Æ È А = А А ÈА = А È А = А АÌВ, А È В = В

АÇ Æ =Æ Ç А = Æ АÇ А =А Ç А = А АÌВ, А Ç В = А

А\ Æ = А Æ\ А = Æ А\ А = Æ АÌВ, А\ В = Æ В\ А =

= Æ Æ

= А

Логические операции и их свойства

Операции

КОНЪЮНКЦИЯ

ДИЗЪЮНКЦИЯ

ОТРИЦАНИЕ

ИМПЛИКАЦИЯ

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ

Логическая связка

…и …

…или…

Неверно, что…

Если…, то…

… тогда и только тогда, когда …

Символ

Ø, `

над высказываниями:

Определение

Конъюнкцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «и», и истинное только когда истинны все составляющие его высказывания.

Дизъюнкцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «или», и истинное когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний.

Отрицанием высказывания называется составное высказывание, полученное из элементарного высказывания при помощи логической связки «не», и истинное когда исходное высказывание ложно.

Импликацией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «если…, то…», и ложное только когда первое высказывание истинно, а второе высказывание – ложно.

Эквиваленцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «..тогда и только тогда, когда..», и истинное когда составляющие его высказывания имеют одинаковое значение истинности.

Таблица истинности

А	В	А Ù В

А	В	А Ù В

А	`А

А	В	А Ù В

А	В	А Ù В

над высказывательными формами:

Определение

Конъюнкцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «и», и принимающая значение истины только когда становятся истинными высказываниями все составляющие его высказывательные формы.

Дизъюнкцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «или», и принимающая значение истины когда становится истинным высказыванием хотя бы одна из составляющих его высказывательных форм.

Отрицанием высказывательной формы называется составная высказывательная форма, полученная из элементарной при помощи логической связки «не», и принимающая значение истины когда исходная высказывательная форма становится ложным высказыванием.

Импликацией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «если.., то..», и принимающая значение лжи только когда первая высказывательная форма становится истинным высказыванием, а вторая высказывательная форма –ложным высказыванием.

Эквиваленцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки ««..тогда и только тогда, когда..», и принимающая значение истины когда составляющие его высказывательные формы становятся высказываниями с одинаковым значением истинности

Множество истинности

Х Т_А Т_В

Т_А_ÙВ = Т_А Ç Т_В

Х Т_А Т_В Т_А_ÚВ = Т_А È Т_В

Х Т_А Т`_А = (Т_А)¢_Х

Х Т_А Т_В Т_А_ÞВ = (Т_А\В)¢_Х

Х Т_А Т_В Т_А_ÛВ = Т_А_ÙВ È (Т_А_ÚВ)¢_Х

Свойства операций

А Ù В = В Ù А (А Ù В) ÙС = А Ù (В Ù С) (АÚВ)ÙС=(А ÙС)Ú (ВÙС) (АÙВ)ÚС=(АÚС) Ù (ВÚС) А Ù ØА = 0 Ø(А Ú В) = ØА Ù ØВØ(А Ù В) = ØА Ú ØВ

А Ú В = В Ú А (А Ú В)Ú С = А Ú (В Ú С) (АÚВ)ÙС= (АÙС)Ú(ВÙ С) (АÙВ)ÚС=(АÚС) Ù (ВÚС) А ÚØА = 1 Ø(А Ú В) = ØА Ù ØВØ(А Ù В) = ØА Ú ØВ

А Ù ØА = 0 А ÚØА = 1 Ø(А Ú В) = ØА Ù ØВØ(А Ù В) = ØА Ú ØВ

(АÞВ) Ù(ВÞА) = А Û В АÞВ = ØВ Þ ØА

А Û В = В Û А

Частные случаи

А Ù 1 = 1 Ù А = А А Ù 0 = 0 Ù А = 0

АÚ0 = 0 ÚА = А А Ú1 = 1 Ú А = 1

Логическое следование При условии Т_А Ì Т_В

Х Т_А Т_В Т_А_ÞВ = Х В(х) логически следует из А(х); А(х) – достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое условие для А(х).

Равносильность При условии Т_А = Т_В

Х Т_А Т_В Т_А_ÛВ = Х А (х) логически следует из В (х); а В(х) логически следует из А(х); А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).