Различные подходы к изучению

Множества целых неотрицательных чисел

И действий с ними

	определение	отношение сравнения	сложение	умножение	вычитание	деление
Теоретико – множественный смысл натурального числа и нуля	Натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств. Число 0 – это свойство класса пустых множеств.	Число а равно числу b, где а = n(А) и b = n(В), если множество А равномощно множеству В. а = b Û А ~ В (n (А)= n (В)), при n (А)= а, n (В)= b Число а меньше (больше) числа b, где а = n (А) и b = n (В), если во множестве В можно выделить собственное подмножество В₁ равномощное множеству А. a < b, а = n(А) и b = n(В) Û $В₁, В₁Ì B, В₁~ А, В₁¹ B, В₁¹ Æ. a > b, а = n(А) и b = n(В) Û $А₁, А₁Ì А, А₁~ B, А₁¹ А, А₁¹ Æ.	Сумма чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В, таких, что а = n (А) и b = n (В). а + b = n (А) + n (В) = = n(А È В),если АÇВ=Æ	Произведение чисел а и b представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются. а · b = n(А₁È А₂È…ÈА_b), если n(А₁)=n(А₂)=...= n(А_b) и А_1, А_2,… А_b попарно не пересекаются. Произведение чисел а и b представляет собой число элементов в декартовом произведении множеств А и В таких, что а = n(А) и b = n(В). а ·b = n(А) · n(В) = n(А´В)	Разность чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, при а = n(А) и b = n(В) и В Ì А. а - b= n(А - n(В) =n(А\В), если В Ì А.	Частное чисел а и b представляет собой 1)число элементов каждого из равномощных попарно не пересекающихся классов разбиения множества А 2) число равномощных попарно не пересекающихся классов разбиения множества А таких, что а = n(А) и b = n(А_i), А₁, А₂,… А_n Ì А, n – количество классов разбиения. 1) а: n = bделение на равные части; 2) a: b = nделение по содержанию.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел	Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам: 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества (единица 1); 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а; 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует элемента а; 4. Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами 1 Î М и из того, что а Î М, следует, что и а' Î М, совпадает с множеством N; называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральными числами.	Число а меньше (больше) числа b (a < b, a > b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b (b + c=a). a < bÛ $ сÎN, а+ с = b	Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами: 1." аÎ N, а + 1 = а', 2." а,bÎ N, а +b' =(a +b)' Свойства: 1)" а,bÎN, $!сÎN, c=a+b; 2)"а,bÎN,(a+b)+c=a+(b+c); 3)"а bÎN, a + b= b + a; 4))"а bÎN, a + b ¹ b.	Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами: 1. " аÎ N, а · 1 = а, 2." а,b Î N, а ·b' =a · b+ a. Свойства: 1)" а,bÎN, $!сÎN, c=a ·b; 2)"а,b,сÎN,(a+b)·c=a·с+b·c 3)"а,b,сÎN,c·(a+b)=c·a+c·b 4)"а,b,сÎN,(a·b)·c=a·(b·с); 5))"а,bÎN, a·b=b·a.	Вычитанием натуральных чисел а и b называется алгебраическая операция, удовлетворяющая условию а – b = с тогда и только тогда, когда b + с = а. а – b = с Û b + с = а. Свойства: 1)" а,bÎN, $cÎN, c=a–bÛ a > b; 2) " а,bÎN, $cÎN, c=a–bÞ !c, c=a–b; 3)"а,b,сÎN, a) a >c, (a+b)–c = (a–с)+ b; б) b>c, (a+b)–c =a + (b–с); 4)"а,b,сÎN, a–(b+c) = (a–b)–c = (a–c)–b.	Делением натуральных чисел а и b называется алгебраическая операция, удовлетворяющая условию а: b = с тогда и только тогда, когда b· с = а. а: b = с Û b· с = а. Свойства: 1)" а,bÎN, $cÎN, c=a:bÞ a ³ b; 2) " а,bÎN, $сÎN, c=a:bÞ !c, c=a:b; 3)"а,b,сÎN, a с и b с Þ (a + b) c; 4)"а,b,сÎN, a > b, a с и b с Þ (a– b) c; 5)"а,b,сÎN, a с или b с Þ (a·b) c; 6) Ø$c, с = а: 0; 7)" а,bÎN, $!(q; r), q; rÎN, a = b·q + r, 0 £ r <b.
Натуральное число как мера величины	Натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. Х = а · Е или а = m_Е(Х)	Натуральное число а, являющееся мерой длины отрезка х, меньше (больше) натурального числа b, являющегося мерой длины отрезка у, если отрезок х короче (длиннее) отрезка у. a < b Û х < y a > b Û x > y, если а=m_Е(Х), b=m_Е(Y)	Сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков y и z, мерами которых являются числа а и b. a + b = m_Е (Y) + m_Е (Z) = = m_Е (Y + Z) = m_Е (Х)	Если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b – мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а ·b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁. а· b =m_Е(Х) · m_Еֽ(Е)=m_Еֽ(Х)	Разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z = х q у, что z Å y = x, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b. a - b = m_Е (Х) - m_Е (Y) = = m_Е (X -Y) = m_Е (Z)	Если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b – мера длины Е₁ при единице длины Е, то частное а: b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁. а:b=m_Е(Х):m_Е(Е₁)=m_Еֽ(Х)
Запись натуральных чисел и алгоритмы действий с ними	Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде х = а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+ + … + а₁· 10 + a₀· 10⁰,где коэффициенты а_n, а_n-1, …, а₁, a₀принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и а_n¹0.	Пусть натуральные числа х и у таковы, что х = а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+ +… + а₁· 10 + a₀· 10⁰ и у = b_m·10^m + b_m_-1· 10^m-1+ + … + b₁· 10 + b₀· 10⁰. тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий: 1) n < m; 2) n = m, но a_n < b_n; 3) n = m, a_n = b_n, …, a_k = b_k, но a_k-1 < b_k-1.	Пусть натуральные числа х и у таковы, что х = а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+ +… + а₁· 10 + a₀· 10⁰ и у = b_m·10^m + b_m_-1· 10^m-1+ + … + b₁· 10 + b₀· 10⁰. если n > m; х + у = а_n· 10ⁿ+…+ (а_m·10^{m +}b_m·10^m) + … + (а₁· 10 + b₁· 10) + (a₀+ b₀) = а_n· 10ⁿ+ … + (а_{m +} b_m) ·10^m+… + (а_{1 +}b₁) · 10 + (a₀+ b₀)·10⁰	Пусть натуральные числа х и у таковы, что х = а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+ +… + а₁· 10 + a₀· 10⁰ и у = b_m·10^m + b_m_-1· 10^m-1+ + … + b₁· 10 + b₀· 10⁰. если n > m х· у = а_n· b_m·10ⁿ⁺^m+ … + а_n· b₀· 10ⁿ+ … + a₀· b₀· 10⁰	Пусть натуральные числа х и у таковы, что х = а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+ +… + а₁· 10 + a₀· 10⁰ и у = b_m·10^m + b_m_-1· 10^m-1+ + … + b₁· 10 + b₀· 10⁰. если n > m х – у = а_n· 10ⁿ+ … + + (а_m– b_m₎·10^m+ … + (а₁–b₁) · 10¹ +(a₀– b₀) · 10⁰	Пусть натуральные числа х и у таковы, что х = а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+ +… + а₁· 10 + a₀· 10⁰ и у = b_m·10^m + b_m_-1· 10^m-1+ + … + b₁· 10 + b₀· 10⁰. если n < m Ø$cÎN, с=х: у если n = m х: у = с· 10⁰, с· у = х; если n > m х: у = (а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+ +… + а₁· 10 + a₀· 10⁰): : (b_m·10^m + b_m-1· 10^m-1+ + … + b₁· 10 + b₀· 10⁰)= 1) (а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+ … + + а_n-m· 10^n-m): (b_m·10^m + + b_m-1· 10^m-1+ … + b₁· 10 + b₀· 10⁰) = q₁; 2) (а_n· 10ⁿ + а_n-1· 10^n-1+… + а₁· 10 + a₀· 10⁰) – (b_m·10^m + b_m-1· 10^m-1+ … + b₁· 10 + b₀· 10⁰)·q₁= r₁; 3) r₁·10^n-m + а_n-m-1· 10^n-m-1+…+а₁· 10 +a₀·10⁰): (b_m·10^m+ b_m-1·10^m-1+ … + b₁· 10 + b₀· 10⁰)= q₂; 4)… 5)r_k·10^k +…+а₁· 10+a₀· 10⁰): : (b_m·10^m+ b_m-1·10^m-1+ … + + b₁· 10 + b₀· 10⁰) = q_k; 6) х: у = q₁q₂…q_k