Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интеграл вида где n- натуральное число.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Пример.

 

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Опр. Биноминальным дифференциалом называется выражение

x^m(a+ bxⁿ)^pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки , где l- общий знаменатель m и n.

2) Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

Интегралы вида .

С помощью замен интеграл приводится к одному из трех типов:

которые вычисляются следующими способами.

1 способ. Тригонометрическая подстановка.

Теорема. Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sintили cost.

Пример.

Теорема. Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sintи cost.

Пример.

Теорема. Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sintили cost.

Пример.

2 способ. Подстановки Эйлера.

1) Если а>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

3) Если a<0, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x– x₁)(x– x₂), то интеграл вида рационализируется подстановкой .

3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n– натуральное число.

Интегралы IIи IIIтипов могут быть легко приведены к виду интеграла Iтипа.

Далее делается следующее преобразование:

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а l- некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют lи коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример.