Интегральное исчисление функции одной переменной
Справочный материал по теме
Интегрирование простейших дробей
Опр. Простейшими называются дроби следующих четырех типов:
I. 
III. 
II. 
IV. 
m, n– натуральные числа (m³2, n³2) и b2– 4ac<0.
Интегралы от элементарных дробей вида Iи II приводятся к табличным подстановкой t= ax+ b.
I. 
II. 
Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
Примеры.
Интегрирование простейших дробей IVтипа основано на использовании следующей рекуррентной формулы:
В общем виде: 
Первый интеграл с помощью подстановки t= u2+ s приводится к табличному 
, а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.
Интегрирование рациональных функций
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Теорема Если 
- правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x- a)a…(x- b)b(x2 + px+ q)l…(x2 + rx+ s)m), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si– некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Siприменяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Пример.
Вычислить интеграл: 
Т.к. (
, то
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:
Пример.
Вычислить интеграл: 
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:
Разложим знаменатель полученной дроби на множители.
3x3– 4x2– 17x+ 6 = (x– 3)(3x2+ 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1).
Тогда:
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю.
Получаем:
= 
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Интеграл вида 
.
R–некоторая рациональная функциия от переменных sinxи cosx.
Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки 
. Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.
, 
Тогда 
Таким образом: 
Пример. Вычислить интеграл:
Интеграл вида , если функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t= sinx.
Функция 
может содержать cosxтолько в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.
Пример.
Интеграл вида , если функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t= cosx.
Тогда 
Интеграл вида , если функция Rчетная относительно sinxи cosx.
Для преобразования функции Rв рациональную используется подстановка t= tgx. Тогда 
Пример.
Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
Пример.
