Линейная алгебра
ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы 
и 
Тогда существует произведение матриц …
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Произведением матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Проверим выполнение данного условия:
1) Для произведения 
условие не выполнено, так как у матрицы B один столбец, а у матрицы A две строки.
2) Для произведения 
условие не выполнено, так как у матрицы C два столбца, а у матрицы B три строки.
3) Для произведения 
условие не выполнено, так как у матрицы A три столбца, а у матрицы C две строки.
4) Для произведения 
условие выполнено, так как размерность матрицы C – 2×2, матрицы A – 2×3 и матрицы B – 3×1. То есть число столбцов матрицы C равно числу строк матрицы A, а число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения 
равен …
|
| 
| ||
– 
| |||
| –1 |
Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: 
. Тогда 
По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть 
Следовательно, 
ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Обратная матрица существует для матрицы …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю. Тогда
1) 
, то есть обратная матрица не существует.
2) 
, то есть обратная матрица не существует.
3) 
, то есть обратная матрица не существует.
4) 
, следовательно, обратная матрица существует.
ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы 
и 
Тогда матрица 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Произведением 
матрицы 
размера 
на матрицу 
размера 
называется матрица 
размера 
, элемент которой 
равен сумме произведений соответственных элементов i -й строки матрицы и j -го столбца матрицы . Тогда 
.
ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Единственное решение имеет однородная система линейных алгебраических уравнений …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если ее определитель не равен нулю.
1) Из системы , получим 
так как столбцы пропорциональны.
2) Из системы , получим 
так как строки пропорциональны.
3) Из системы , получим 
так как строки пропорциональны.
4). Из системы , получим 
следовательно, система имеет одно единственное решение.
ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения 
равен …
|
| – 1 | ||
| – 4 |
Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
. Тогда 
По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть 
Следовательно, 
ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Для матрицы 
не существует обратной, если значение 
равно …
|
| 
| ||
| |||
| – 2 |
Решение:
Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть 
Тогда обратной матрицы не существует при 
ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Обратная матрица существует для матрицы …
|
|
| ||
|
| |||
|
| |||
|
|
Решение:
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю. Тогда
1) , то есть обратная матрица не существует.
2) , то есть обратная матрица не существует.
3) , то есть обратная матрица не существует.
4) , следовательно, обратная матрица существует.
ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и 
. Тогда матрица имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i -й строки матрицы и j -го столбца матрицы . Тогда 
.
ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений 
не имеет решений, если 
равно …
|
| 
| ||
| |||
| 2,4 | |||
| – 2,4 |
Решение:
Система линейных уравнений 
не имеет решений, если определитель матрицы системы 
равен нулю, а хотя бы один из определителей 
или 
нулю не равен.
Например, 
Следовательно, система не имеет решений, когда 
и 
Аналитическая геометрия
ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Квадратичные формы
Матрица квадратичной формы
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали. Слагаемые из формы можно представить в виде 
. Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что 
, поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по 
. Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т.е. 
, записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы 
Следовательно, заданная квадратичная форма описывается матрицей 
ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Расстояние от точки 
до прямой 
равно …
|
| |||
|
Решение:
Расстояние от точки 
до прямой 
найдем по формуле 
.
ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Поверхности второго порядка
Даны уравнения поверхностей второго порядка:
А) 
B) 
C) 
D) 
Тогда однополостный гиперболоид задается уравнением …
|
| D | ||
| A | |||
| C | |||
| B |
Решение:
Так как каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид 
, то искомое уравнение может иметь вид: .
ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Даны точки 
и 
. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
, имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
, имеет вид 
. В качестве вектора 
возьмем вектор 
. Тогда уравнение плоскости примет вид 
или .
ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точка 
симметрична точке 
относительно точки 
. Тогда координаты точки равны …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Точка 
является серединой отрезка 
. То есть должны выполняться условия 
, 
или 
, 
. Тогда координаты точки равны .
ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат заданы две точки 
и 
Тогда расстояние между ними равно …
|
| |||
| |||
| |||
Решение:
Точки и 
лежат на одной прямой и отстоят от полюса на расстояния 2 и 7 соответственно. Следовательно, длина образованного ими отрезка 
ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точка симметрична точке относительно точки . Тогда координаты точки равны …
|
|
| ||
|
| |||
|
| |||
|
|
Решение:
Точка является серединой отрезка . То есть должны выполняться условия , или , . Тогда координаты точки равны .
ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Поверхности второго порядка
Уравнение 
в пространстве определяет …
|
| параболоид | ||
| эллипсоид | |||
| однополостный гиперболоид | |||
| цилиндр |
Решение:
Уравнение вида 
в пространстве определяет параболоид.
ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 
, равен …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Выразим из уравнения переменную 
, а именно 
. Тогда угловой коэффициент 
.
ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точка симметрична точке относительно точки . Тогда координаты точки равны …
|
|
| ||
|
| |||
|
| |||
|
|
Решение:
Точка является серединой отрезка . То есть должны выполняться условия , или , . Тогда координаты точки равны .
ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Прямая проходит через точки 
и 
. Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Уравнение прямой, проходящей через две точки 
и 
имеет вид 
. То есть 
, 
, или .
ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку 
параллельно вектору 
имеют вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку 
с направляющим вектором 
, имеют вид 
Тогда 
или 
ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Поверхности второго порядка
Координаты центра эллипсоида 
равны …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Координаты центра эллипсоида 
равны 
То есть это точка 
Дифференциальное и интегральное исчисление
ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Свойства определенного интеграла
Среднее значение функции 
на отрезке 
равно …
|
| 
| ||
| |||
|
| |||
|
Решение:
Среднее значение функции 
непрерывной на отрезке 
вычисляется по формуле 
где 
Тогда
ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл 
равен …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Для вычисления данного определенного интеграла произведем замену переменных: 
, 
, 
, и перейдем к новым пределам интегрирования: 
, 
.
Тогда
ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Полный дифференциал функции 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть
.
Тогда
ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Приближенное значение функции 
в точке 
вычисленное с помощью полного дифференциала, равно …
|
| 0,51 | ||
| 1,71 | |||
| 4,29 | |||
| 0,45 |
Решение:
Воспользуемся формулой 
где 
Вычислим последовательно
Тогда
ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Производные первого порядка
Производная функции 
равна …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
.
ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Предел функции
Предел 
равен …
|
|
| ||
|
Решение:
Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на 
:
ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная 
функции 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
При вычислении частной производной по переменной , переменную 
рассматриваем как постоянную величину. Тогда
ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл 
равен …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница: 
, где 
– первообразная функции 
.
Тогда 
ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке
Тема: Предел функции
Предел 
равен …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на линейные множители как
и 
.
.
ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл 
равен …
|
| 
| ||
|
| |||
| |||
|
Решение:
Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница: , где – первообразная функции .
Тогда 
.
ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Производные первого порядка
Производная функции 
равна …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
.
ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная второго порядка 
функции 
имеет вид …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
При вычислении частной производной функции 
по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
и
Ряды
ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Область сходимости степенного ряда
Область сходимости степенного ряда 
имеет вид …
|
| 
| |||||||
Дата добавления: 2017-03-18; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 286 | Нарушение авторских прав Поиск на сайте: Лучшие изречения:  | 2156 -  |
Ген: 0.014 с.