Нахождение угла между прямой и плоскостью

• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
• 0 ˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле или в координатах , где - вектор нормали к плоскости α, - направляющий векор прямой l;

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра АВ и АА₁ равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В₁С₁. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ₁С).

 

Решение: Составим уравнение плоскости (АВ₁С.):

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В₁(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b= , c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Найдем координаты вектора

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ: 45˚

Нахождение угла между двумя плоскостями

• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
• Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
• Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между нормалями к этим плоскостям по формуле или в координатной форме , где - вектор нормали плоскости А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, - вектор нормали плоскости A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Пример 1. В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ найдите угол между плоскостями АD₁Е и D₁FC, где точки Е и F-середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ соответственно.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений плоскостей: (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0), F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (A E), используя уравнение А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0;

А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;

А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0.

Получим, что А= - С, В= - 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0.

Значит, А₁=1, В₁= 2, С₁= -1

Составим уравнение плоскости (CF ), используя уравнение А₂х+В₂у+С₂z+D₁=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0;

А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;

А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0.

Получим, что В = С, А = 2С, D = - 3С. Таким образом, уравнение примет вид:

2х +у +z – 3 = 0. Значит, А₂₌ 2, В_{2 =} 1, С₂₌ 1. По формуле:

.

Значит, угол между плоскостями равен 60̊. Ответ: 60̊.