Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Математика

 

Использование метода координат в пространстве

Для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

 

 

Улан-Удэ

Бэлиг

 

Содержание

I. Введение…………………………………………………………………

II. Основная часть

1. Нахождение угла между прямыми……….

2. Нахождение угла между прямой и плоскостью………………

3. Нахождение угла между двумя плоскостями…………………

4. Нахождение расстояния от точки до плоскости……………..

III. Заключение…………………………………………………………..

IV.Список использованной литературы

 

I.Введение

Существует два способа решения задач С-2 ЕГЭ по математике.

Первый способ - поэтапно-вычислительный. Этот способ требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мышление и пространственное воображение.

Другой метод - применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Целью данного методического пособия является разработка методики обучения векторно-координатному методу решения задач школьного курса геометрии 10-11 класса.
Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.
Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод - довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений.
С помощью векторно-координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи из ЕГЭ в блоке С (задание С2).
В рамках данного пособия рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также их решение с помощью координатно-векторного метода.

 

II.Основная часть

Ключевые задачи

Применение метода координат даёт нам возможность для решения следующих задач:

1)Нахождение расстояния d между двумя точками A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂),

заданными своими координатами:

2)Нахождение координат середины С(x; y; z) отрезка АВ, где A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂): , ,

3) Нахождение угла между двумя векторами, заданными своими координатами:

где .

4)Нахождение угла между прямой l и плоскостью α:

или в координатах , где

- вектор нормали к плоскости α,

- направляющий вектор прямой l

5)Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты :

или

6)Нахождение расстояния от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0:

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

· Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.

· 0 ˚<(a,α)<90˚.

Для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы и параллельны соотвественно этим прямым, используют формулу: или в координатной форме .

В частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы или .

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=2, AD=4, AA1=3. Точка Е- середина ребра А1В1. Найдите угол между прямыми ВС1 и АЕ

 

Решение: Пусть точка В(0;0;0)-начало координат. Тогда С1(0;4;0), А(3;0;0), Е(1,5;0;3). Найдем координаты векторов и .

По формуле: находим

.