Математика
Использование метода координат в пространстве
Для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Улан-Удэ
Бэлиг
Содержание
I. Введение…………………………………………………………………
II. Основная часть
1. Нахождение угла между прямыми……….
2. Нахождение угла между прямой и плоскостью………………
3. Нахождение угла между двумя плоскостями…………………
4. Нахождение расстояния от точки до плоскости……………..
III. Заключение…………………………………………………………..
IV.Список использованной литературы
I.Введение
Существует два способа решения задач С-2 ЕГЭ по математике.
Первый способ - поэтапно-вычислительный. Этот способ требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мышление и пространственное воображение.
Другой метод - применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Целью данного методического пособия является разработка методики обучения векторно-координатному методу решения задач школьного курса геометрии 10-11 класса.
Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.
Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод - довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений.
С помощью векторно-координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи из ЕГЭ в блоке С (задание С2).
В рамках данного пособия рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также их решение с помощью координатно-векторного метода.
II.Основная часть
Ключевые задачи
Применение метода координат даёт нам возможность для решения следующих задач:
1)Нахождение расстояния d между двумя точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2),
заданными своими координатами:
2)Нахождение координат середины С(x; y; z) отрезка АВ, где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2): 
, 
, 
3) Нахождение угла между двумя векторами, заданными своими координатами:
где 
.
4)Нахождение угла между прямой l и плоскостью α:
или в координатах 
, где
- вектор нормали к плоскости α,
- направляющий вектор прямой l
5)Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты 
:
или 
6)Нахождение расстояния от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0:
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
· Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
· 0 ˚<(a,α)<90˚.
Для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы 
и параллельны соотвественно этим прямым, используют формулу: 
или в координатной форме 
.
В частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы 
или 
.
Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=2, AD=4, AA1=3. Точка Е- середина ребра А1В1. Найдите угол между прямыми ВС1 и АЕ
Решение: Пусть точка В(0;0;0)-начало координат. Тогда С1(0;4;0), А(3;0;0), Е(1,5;0;3). Найдем координаты векторов 
и 
.
По формуле: находим
.
