Уравнения, допускающие понижение порядка. Рассмотреть различные случаи, указать способы понижения порядка. Примеры.

Решение: Данное дифференциальное уравнение имеет вид .

Понижаем степень уравнения до первого порядка:
Или короче: , где – константа

Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:

Ответ: общее решение:

Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:

Получено исходное дифференциальное уравнение , значит, общее решение найдено правильно.

63. Линейные дифференциальные уравнение второго порядка. Структура общего решения линейного однородного дифференциально уравнение второго порядка (понятие независимых решений, вронскиана, фундаментальной системы решений). Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид . Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения. Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением. Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать

Линейные дифференциально уравнение второго порядка. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

Пусть - частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка , а - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка . Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет следующий вид:

Доказательство:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения. Примеры.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение видаy′′+py′+qy=0,где p,q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:k2+pk+q=0.Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D>0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функциейy(x)=C1ek1x+C2ek2x,где C1 и C2 − произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D=0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:y(x)=(C1x+C2)ek1x.

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D<0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1=α+βi,k2=α−βi. Общее решение записывается в видеy(x)=eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)].