Уравнения в полных дифференциалах. Способы их решения. Пример.

Дифференциально уравнение с разделенными и разделяющимися переменными. Дифференциально уравнение, сводящиеся к уравнению с разделяющимися переменными. Способы их решения. Примеры.

Пример 1) уравнения , удовлетворяющего условию Решение. .

Пример 2) Для уравнения найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию . Решение. а) Общий интеграл. Делим на ..

отсюда или – общий интеграл. б) Частное решение. Частное решение: . с) Особое решение.

Возможна потеря решений . Оба эти решения особые.

Однородные дифференциально уравнение первого порядка. Дифференциально уравнение, сводящиеся к однородным уравнения первого порядка. Способы их решения. Примеры.

Пример. Решить уравнение . Решение. Уравнение однородное. Полагаем . .Если , то . Отсюда . – общий интеграл. Может быть потеряно решение или . Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.

60. Линейные дифференциально уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли, способы их решения: метод вариации произвольной постоянной, метод постановки. Примеры. Пример. или .

Это уравнение Бернулли. Здесь . Преобразуем уравнение, разделив его на : .

Положим , тогда . Следовательно, или . Отсюда .

и – особое решение. Пример. Написать общее решение уравнения . Решение. Имеем . Поэтому (произвольную постоянную можно считать = 0). И – общее решение. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция – новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное

или .

Отсюда Следовательно, .

Это и есть общее решение уравнения. Оно содержит все решения. Особых решений нет.

Уравнения в полных дифференциалах. Способы их решения. Пример.

решение уравнений в полных дифференциалах примерами. Решение: Проверяем выполнение необходимого и достаточного условия: Условие выполнено, а значит, это — дифференциальное уравнение в полных ДУ еренциалах. 2) Теперь продифференцируем найденную функцию U(x;y) по y: Сопоставив левую и правую части равенства, приходим к выводу, что φ'(y)=-1. Интегрируем это равенство и находим φ(y): 3) Так как подставляем найденное значение φ(y) и получаем функцию U(x;y): А поскольку интеграл уравнения в полных дифференциалах dU(x;y)=0 есть U(x;y)=C, то получаем, что Ответ: 2) (3x²y-4xy²)dx+(x³-4x²y+12y³)dy=0. Решение: Начинаем с проверки выполнения необходимого и достаточного условия: Условие выполнено: поэтому это — уравнение в полных дифференциалах. Решаем его по пунктам. 2) Теперь продифференцируем полученную функцию U(x;y) по y: А так как Сопоставляя левую и правую части равенства, приходим к выводу, что φ'(y)=12y³. Отсюда 3) Поскольку уже нашли U(x;y)=x³y-2x²y²+φ(y),подставив найденную функцию φ'(y), получаем Ответ: Решение: Проверяем выполнение необходимого и достаточного условия: Получили, что значит, это — уравнение в полных дифференциалах. 1) 2) Теперь продифференцируем полученную функцию U(x;y) по y: А теперь вспоминаем, что Сопоставив левую и правую части полученного равенства, приходим к выводу, что φ'(y)=0, откуда φ(y)=С1. Подставив полученную функцию в равенство (I), получаем, что Отсюда общий интеграл данного уравнения есть Ответ: