Дифференциально уравнение с разделенными и разделяющимися переменными. Дифференциально уравнение, сводящиеся к уравнению с разделяющимися переменными. Способы их решения. Примеры.
Пример 1) уравнения 
, удовлетворяющего условию 
Решение. 
.
Пример 2) Для уравнения 
найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию 
. Решение. а) Общий интеграл. Делим на 
.. 
отсюда 
или 
– общий интеграл. б) Частное решение. 
Частное решение: 
. с) Особое решение. 
 |
Возможна потеря решений
. Оба эти решения особые.
Однородные дифференциально уравнение первого порядка. Дифференциально уравнение, сводящиеся к однородным уравнения первого порядка. Способы их решения. Примеры.
Пример. Решить уравнение 
. Решение. Уравнение однородное. Полагаем 
. 
.Если 
, то 
. Отсюда 
. 
– общий интеграл. Может быть потеряно решение 
или 
. Действительно, 
есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно 
есть особое решение.
60. Линейные дифференциально уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли, способы их решения: метод вариации произвольной постоянной, метод постановки. Примеры. Пример. 
или 
.
Это уравнение Бернулли. Здесь 
. Преобразуем уравнение, разделив его на 
: 
.
Положим 
, тогда 
. Следовательно, 
или 
. Отсюда 
.
и 
– особое решение. Пример. Написать общее решение уравнения 
. Решение. Имеем 
. Поэтому 
(произвольную постоянную можно считать = 0). И 
– общее решение. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение 
Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим 
Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция 
– новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное
или 
.
Отсюда 
Следовательно, 
.
Это и есть общее решение уравнения. Оно содержит все решения. Особых решений нет.
Уравнения в полных дифференциалах. Способы их решения. Пример.
решение уравнений в полных дифференциалах примерами.
 Решение: Проверяем выполнение необходимого и достаточного условия:
 
Условие выполнено, а значит, это — дифференциальное уравнение в полных ДУ еренциалах.  
2) Теперь продифференцируем найденную функцию U(x;y) по y:  
Сопоставив левую и правую части равенства, приходим к выводу, что φ'(y)=-1.
Интегрируем это равенство и находим φ(y): 
3) Так как  подставляем найденное значение φ(y) и получаем функцию U(x;y): 
А поскольку интеграл уравнения в полных дифференциалах dU(x;y)=0 есть U(x;y)=C, то получаем, что
 Ответ: 
2) (3x²y-4xy²)dx+(x³-4x²y+12y³)dy=0.
Решение: Начинаем с проверки выполнения необходимого и достаточного условия:
 
Условие выполнено:  поэтому это — уравнение в полных дифференциалах. Решаем его по пунктам.
  
2) Теперь продифференцируем полученную функцию U(x;y) по y: 
 А так как 
Сопоставляя левую и правую части равенства, приходим к выводу, что φ'(y)=12y³. Отсюда
3) Поскольку уже нашли U(x;y)=x³y-2x²y²+φ(y),подставив найденную функцию φ'(y), получаем
 Ответ:
 
Решение: Проверяем выполнение необходимого и достаточного условия:
 
 Получили, что 
значит, это — уравнение в полных дифференциалах. 1) 
  
 2) Теперь продифференцируем полученную функцию U(x;y) по y:
  
А теперь вспоминаем, что  
Сопоставив левую и правую части полученного равенства, приходим к выводу,
что φ'(y)=0, откуда φ(y)=С1. Подставив полученную функцию в равенство (I),
получаем, что  Отсюда общий интеграл данного уравнения есть 
Ответ: 
|
