Пусть 
, 
, 
– скаляр.
1°. 
Û 
, 
, 
.
2°. 
.
3°. 
.
4°. Длина (модуль) вектора: 
.
5°. Условие параллельности векторов: 
|| 
Û 
.
6°. Чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала 
.
Пример. Найти длину вектора 
, если 
, 
.
Решение. По 6°: 
, 
. Его длина (4°): 
(ед).
3. 3. Скалярное произведение векторов есть число, вычисляемое по формуле:
.
Угол между векторами:
Условие перпендикулярности векторов: 
Û 
Û 
.
Проекция вектора на направление : 
.
Пример. Найти угол между векторами 
; 
.
Решение. Находим 
; 
,
; 
,
.
3. 4. Векторное произведение.
Векторным произведением на 
называется вектор 
, удовлетворяющим трем условиям
1. 
,
2. 
; 
,
3. 
образуют правую тройку, т. е. с конца вектора вращение от к , по наименьшему углу, выглядит против часовой стрелки.
Обозначают 
.
Обратите внимание, 
.
— модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Если известны координаты сомножителей, то
.
Пример. Построить векторы , , 
.
; 
. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Решение. Найдем вектор 
.
.
Сделаем чертеж.
На векторах и , как на сторонах, строим параллелограмм ОАВD. Его площадь численно равна 
, т. е. длине вектора 
.
;
Площадь параллелограмма 
.
3. 5. Смешанное произведение трех векторов есть число
.
В координатной форме:
.
Модуль смешанного произведения 
— численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах 
, как на сторонах.
Смешанное произведение имеет знак плюс, если тройка векторов — правая, минус, если тройка левая.
Условие компланарности векторов. Векторы компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.
.
Разложение вектора по базису.
Любые три вектора , , , не лежащие в одной плоскости, могут быть приняты за базис в 
. Всякий вектор 
может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде 
.
Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
; 
, 
.
Решение. Найдем смешанное произведение
,
Объем 
Пример. Убедиться, что векторы 
не лежат в одной плоскости, написать разложение вектора 
по векторам 
если
; 
; 
; 
.
Решение. 1) Проверяем условие компланарности для векторов .
не лежат в одной плоскости и могут быть приняты за базис.
2) Разложим вектор по векторам 
:
.
Чтобы найти 
запишем это равенство для каждой координаты
Решив систему уравнений любым известным способом, находим 
; 
; 
. Значит, 
.
