Прямая линия
Общее уравнение прямой
.
Две прямые 
и 
параллельны, если 
, перпендикулярны, если 
. Расстояние от точки 
до прямой вычисляется по формуле:
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
Угол 
, отсчитанный против часовой стрелки от прямой 
, до прямой 
определяется формулой:
.
Условие параллельности двух прямых: 
,
Условие перпендикулярности: 
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
, или уравнение пучка прямых:
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 
и 
:
.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки: 
.
Уравнение прямой в отрезках на осях: 
.
Пример 1. Через точку 
провести прямые параллельно, перпендикулярно и под углом 
к прямой (АВ): 
.
Решение. Уравнения прямых, проходящих через точку 
:
,
.
Найдем угловые коэффициенты искомых прямых. Прямая (АВ) задана общим уравнением: . Выразив из него 
, получаем уравнение с угловым коэффициентом 
; 
.
1. 
.
Уравнение 
: 
или 
.
2. 
.
Уравнение 
: 
или 
.
3. Прямая 
образует с 
угол 
. Обозначим ее угловой коэффициент через 
и воспользуемся формулой
; 
=1. Имеем 
, так как искомое 
может совпадать с 
или 
.
1) 
; 
; 
.
2) 
; 
; 
.
Искомые прямые
: 
или 
.
: 
или 
.
Пример 2. 
; 
; 
вершины треугольника. Найти уравнения стороны АС, высоты, медианы, проведенных из вершины В, длину этой высоты, угол А.
Решение. 1)Прямая (АС) проходит через две точки
; 
;
(АС): 
или 
; 
.
2) 
(ВН): 
; 
; 
.
3) ВМ – медиана, М – середина АС,
; 
;
(ВМ): 
; 
; 
.
4) Длина высоты 
равна расстоянию от точки В до прямой АС
; 
(ед.).
5) 
; 
;
; 
.
.
Кривые второго порядка
Уравнение 
если А, В и С одновременно не равны нулю, задает на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка.
Если В =0 кривая имеет ось симметрии параллельную координатным осям. Будем рассматривать только этот случай.
Выделяя полный квадрат относительно каждой переменной x и y, уравнение 
приводим к одному из следующих канонических видов:
1. 
– линии эллиптического типа:
– эллипс с центром 
полуосями а и b. 
Если 
то уравнение запишется в виде
– окружность с центром радиуса R.
2. 
– линии гиперболического типа:
– гипербола с центром вещественной полуосью – а, мнимой полуосью – b.
– сопряженная гипербола с центром вещественной полуосью – b, мнимой полуосью – а.
3. 
– линии параболического типа.
Здесь возможны четыре случая:
либо 
– параболы с вершиной 
, где 
.
В первом случае – ось симметрии параллельна оси 
, во втором – 
Если в уравнении знак “+”, ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии, знак “–” — в противоположном.
Замечание. Возможны так называемые вырожденные случаи:
1) :
– точка 
.
– мнимый эллипс.
2) : 
или
– пара пересекающихся прямых: 
3) : 
или 
– пара мнимых прямых, пара параллельных прямых.
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора.
Обозначим единичные векторы координатных осей соответственно 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. Любой вектор 
может быть единственным способом разложен на составляющие по координатным осям:
, 
, 
,
.
Числа 
, 
, 
проекции вектора на оси координат, называются координатами вектора 
в базисе 
.
