Требования к выполнению и оформлению заданий

Инженерно-экономический институт

Кафедра математики

Математика

Методические указания к выполнению расчетно-графических, контрольных работ и самостоятельной работы

для студентов, обучающихся по направлению

08.03.01 Строительство

очной и заочной форм обучения

Составители
С. В. Карякина,

Кандидат технических наук, доцент

С. А. Абросимова А. А. Богунова

Тюмень

ТИУ

Математика: методические указания к выполнению расчетно-графических, контрольных работ и самостоятельной работы для студентов, обучающихся по направлению 08.03.01 Строительство,очной и заочной форм обучения / сост. С.В. Карякина, С.А. Абросимова, А.А. Богунова; Тюменский индустриальный университет - Тюмень: Издательский центр БИК, ТИУ, 2016 – 35 с.

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры математики

«9» ноября 2016 года, протокол №100

Аннотация

Дисциплина «Математика» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла дисциплин и изучается в первом и втором учебных семестрах. В каждом учебном семестре студент должен выполнить типовые задания, которые составляют задания расчетно-графических, контрольных работ и самостоятельной работы студентов очной и заочной формы обучения.

Методические указания разработаны на основании рабочих программ дисциплины «Математика» для студентов, обучающихся по направлению 08.03.01 Строительство очной и заочной форм обучения. Указания содержат вопросы для подготовки к экзаменам по семестрам, задания расчетно-графических и контрольных работ и самостоятельной работы, указания к выполнению и оформлению заданий

Содержание

Введение.................................................................................................... 4

1 Требования к выполнению и оформлению заданий.......................... 4

2 Вопросы для подготовки к экзаменам................................................ 5

3 Содержание работ по семестрам......................................................... 6

4 Задания по разделу «Линейная алгебра»............................................ 7

5 Задания по разделу «Аналитическая геометрия»............................ 11

6 Задания по разделу «Математический анализ»............................... 14

7 Задания по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» 27

Библиографический список.................................................................. 34

Введение

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ЗАДАНИЙ

Неотъемлемой формой обучения студента является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по конспектам и учебнику, решение задач, самопроверка, выполнение типовых заданий.

При выполнении работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не допускаются к проверке и возвращаются студенту для исправления.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку, чернилами любого цвета, кроме красного.

2. На титульном листе тетради следует указать название дисциплины, семестр обучения, фамилию и инициалы, номер зачетной книжки, номер варианта.

3. В работу должны быть включены все задачи, относящиеся к данной работе и соответствующие варианту. Набор заданий для каждого вида работ и формы обучения определяет преподаватель. Работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта к проверке не допускаются.

4. Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи необходимо выписать полную формулировку задания. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные данными, соответствующими своему варианту.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и обосновывая все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. В не зачтенной работе студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты согласно рекомендациям рецензента. Исправления должны быть выполнены в конце проверенной работы. Рекомендуется при выполнении работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в текст работы после рецензирования запрещается.

Вопросы для подготовки к экзаменам

I семестр

1. Действия с матрицами.

2. Определители. Вычисление и свойства.

3. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.

4. Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера; метод Гаусса, метод обратной матрицы.

5. Понятие вектора. Модуль вектора. Координаты вектора.

6. Линейные операции над векторами.

7. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

8. Прямая на плоскости.

9. Кривые второго порядка.

10. Плоскость.

11. Прямая в пространстве.

12. Предел функции.

13. Замечательные пределы.

14. Производная функции. Таблица производных.

15. Правило Лопиталя.

16. Непрерывность функции.

17. Асимптоты графика функции.

18. Исследование функции средствами дифференциального исчисления.

19. Функция двух переменных. Производные функции двух переменных.

20. Экстремум функции двух переменных.

21. Градиент функции. Нормаль, касательная плоскость к поверхности.

II семестр

22. Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.

23. Методы нахождения неопределенных интегралов: табличное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям, метод неопределенных коэффициентов.

24. Определенный интеграл. Геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница, замена переменной, интегрирование по частям. Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур.

25. Несобственные интегралы.

26. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Системы дифференциальных уравнений.

27. Случайные события. Алгебра событий.

28. Вероятность события. Основные свойства вероятности.

29. Теоремы сложения вероятностей. Полная группа событий. Противоположные события.

30. Теоремы умножения вероятностей. Независимые события.

31. Формула полной вероятности. Пример применения.

32. Формула Байеса. Пример применения.

33. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Пример применения.

34. Виды случайных величин и законы их распределения.

35. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

36. Биномиальное распределение.

37. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

38. Нормальное распределение.

39. Равномерное распределение.

40. Генеральная совокупность. Выборочная совокупность. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.

41. Дискретный вариационный ряд. Полигон частот. Полигон относительных частот.

42. Интервальный вариационный ряд. Гистограмма частот. Гистограмма относительных частот.

43. Точечные статистические оценки параметров распределения.

44. Интервальные статистические оценки параметров распределения.

Содержание работ ПО СЕМЕСТРАМ

I семестр	II семестр
Задания 1 - 17	Задания 18 - 27

Номер варианта для студентов заочной формы обучения определяется по последней цифре номера зачетной книжки. Последняя цифра номера зачетной книжки равна последней цифре номера варианта.

4 задания ПО РАЗДЕЛУ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Задание 1.

Даны матрицы А, В, С. Вычислить:

1) ;

2) ;

3) .

1.1.1. , , .

1.1.2. , , .

1.1.3. , , .

1.1.4. , , .

1.1.5. , , .

1.1.6. , , .

1.1.7. , , .

1.1.8. , , .

1.1.9. , , .

1.1.10. , , .

Задание 2.

Найти решение системы линейных уравнений, выполнить проверку:

1) по формулам Крамера;

2) методом Гаусса;

3) с использованием обратной матрицы.

1.2.1.

1.2.2.

1.2.3.

1.2.4.

1.2.5.

1.2.6.

1.2.7.

1.2.8.

1.2.9.

1.2.10.

Задание 3.

Доказать несовместность системы.

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.3.4

1.3.5

1.3.6

1.3.7

1.3.8

1.3.9

1.3.10

Задание 4.

Найти общее и частное решения системы. Выполнить проверку для частного решения.

1.4.1

1.4.2

1.4.3

1.4.4

1.4.5

1.4.6

1.4.7

1.4.8

1.4.9

1.4.10

5 задания ПО РАЗДЕЛУ «аналитическая геометрия»

Задание 5.

Даны координаты точки А и уравнение прямой L.

1) Составить уравнение прямой L₁, проходящей через точку А параллельно прямой L.

2) Составить уравнение прямой L₂, проходящей через точку А перпендикулярно прямой L.

3) В декартовой системе координат отметить точку А, построить и подписать прямые L, L₁, L₂.

1.5.1.

1.5.2.

1.5.3.

1.5.4.

1.5.5.

1.5.6.

1.5.7.

1.5.8.

1.5.9.

1.5.10.

Задание 6.

Треугольник АВС задан координатами вершин.

1) Составить уравнения прямых, содержащих стороны треугольника, привести уравнения прямых к виду с угловым коэффициентом.

2) Составить уравнение прямой, содержащей медиану АМ, найти длину медианы.

3) Составить уравнение прямой, содержащей высоту BH, найти длину высоты.

4) Найти тангенс острого угла образованного прямыми BH и АМ.

5) В координатной плоскости построить треугольник АВС, провести медиану АМ, высоту ВН, подписать уравнения сторон треугольника и найденные длины высоты и медианы.

1.6.1.

1.6.2.

1.6.3.

1.6.4.

1.6.5.

1.6.6.

1.6.7.

1.6.8.

1.6.9.

1.6.10.

Задание 7.

Дано уравнение кривой второго порядка.

1) Определить вид кривой. Выписать каноническое уравнение кривой.

2) Привести уравнение кривой к каноническому виду.

3) Выписать параметры кривой.

4) Построить кривую в координатной плоскости.

1.7.1. .

1.7.2. .

1.7.3. .

1.7.4. .

1.7.5.

1.7.6. .

1.7.7.

1.7.8. .

1.7.9. .

1.7.10.

Задание 8.

Пирамида ABCD задана координатами вершин.

1) Найти координаты вектора .

2) Найти угол между векторами и с использованием скалярного произведения векторов.

3) Найти площадь основания ABC c использованием векторного произведения.

4) Найти объем пирамиды с использованием смешанного произведения векторов.

5) Составить уравнение плоскости ABC.

6) Найти длину высоты пирамиды BH.

7) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через вершину D параллельно вектору .

8) Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А перпендикулярно вектору .

1.8.1.

1.8.2.

1.8.3.

1.8.4.

1.8.5.

1.8.6.

1.8.7.

1.8.8.

1.8.9.

1.8.10.

6 задания ПО РАЗДЕЛУ «математический анализ»

Задание 9.

Вычислить при заданных значениях .

1.9.1.

1.9.2.

1.9.3.

1.9.4.

1.9.5.

1.9.6.

1.9.7.

1.9.8.

1.9.9.

1.9.10.

Задание 10.

Вычислить пределы.

1.10.1.

1.10.2.

1.10.3.

1.10.4.

1.10.5.

1.10.6.

1.10.7.

1.10.8.

1.10.9.

1.10.10.

Задание 11. Исследовать функции на непрерывность. Найти точки разрыва, определить вид разрыва. Построить график функции по результатам исследования.

1.11.1.	а) ;	б) .
1.11.2.	а) ;	б) .
1.11.3.	а) ;	б) .
1.11.4.	а) ;	б) .
1.11.5.	а) ;	б) .
1.11.6.	а) ;	б) .
1.11.7.	а) ;	б) .
1.11.8.	а) ;	б) .
1.11.9.	а) ;	б) .
1.11.10.	а) ;	б) .

Задание 12.

Найти производные.

1.12.1.

1.12.2.

1.12.3.

1.12.4.

1.12.5.

1.12.6.

1.12.7.

1.12.8.

1.12.9.

1.12.10.

Задание 13.

Вычислить предел с использованием:

а) правила Лопиталя;

б) эквивалентных функций.

1.13.1.

1.13.2.

1.13.3.

1.13.4.

1.13.5.

1.13.6.

1.13.7.

1.13.8.

1.13.9.

1.13.10.

Задание 14.

Исследовать функцию y=f(x) средствами дифференциального исчисления. Исследование провести по плану:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность, нечетность;

3) найти асимптоты графика функции;

4) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

5) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

6) найти точки пересечения графика с осями координат;

7) построить график функции.

1.14.1 ;

1.14.2 ;

1.14.3 ;

1.14.4 ;

1.14.5 ;

1.14.6 ;

1.14.7 ;

1.14.8 ;

1.14.9 ;

1.14.10 .

Задание 15.

Дана функция z=f(x;y). Найти частные производные второго порядка , , , .

1.15.1. ;

1.15.2. ;

1.15.3. ;

1.15.4. ;

1.15.5. ;

1.15.6. ;

1.15.7. ;

1.15.8. ;

1.15.9. ;

1.15.10. .

Задание 16.

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x;y) в точке . Найти градиент функции в точке .

1.16.1.
1.16.2.
1.16.3.
1.16.4.
1.16.5.
1.16.6.
1.16.7.
1.16.8.
1.16.9.
1.16.10.

Задание 17.

Исследовать на экстремум функцию z=f(x;y) в области ее определения.

1.17.1.
1.17.2.
1.17.3.
1.17.4.
1.17.5.
1.17.6.
1.17.7.
1.17.8.
1.17.9.
1.17.10.

Задание 18.

Вычислить неопределенные интегралы.

2.18.1.	а) ; б) .
2.18.2.	а) ; б) .
2.18.3.	а) ; б) .
2.18.4.	а) ; б) .
2.18.5.	а) ; б) .
2.18.6.	а) ; б) .
2.18.7.	а) ; б) .
2.18.8.	а) ; б) .
2.18.9.	а) ; б) .
2.18.10.	а) ; б) .

Задание 19.

Построить область, ограниченную линиями. Вычислить площадь построенной области.

2.19.1 .

2.19.2 .

2.19.3 .

2.19.4 .

2.19.5 .

2.19.6 .

2.19.7 .

2.19.8 .

2.19.9 .

2.19.10 .

Задание 20.

Вычислить несобственный интеграл.

2.20.1.	.	2.20.2.	.
2.20.3.	.	2.20.4.	.
2.20.5.	.	2.20.6.	.
2.20.7.	.	2.20.8.	.
2.20.9.	.	2.20.10.	.

Задание 21.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2.21.1.	.
2.21.2.	.
2.21.3.	.
2.21.4.	.
2.21.5.	.
2.21.6.	.
2.21.7.	.
2.21.8.	.
2.21.9.	.
2.21.10.	.

Задание 22.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

2.22.1.	.
2.22.2.	.
2.22.3.	.
2.22.4.	.
2.22.5.	.
2.22.6.	.
2.22.7.	.
2.22.8.	.
2.22.9.	.
2.22.10.	.

Задание 23.

Решить систему дифференциальных уравнений.

2.23.1.		2.23.2.
2.23.3.		2.23.4.
2.23.5.		2.23.6.
2.23.7.		2.23.8.
2.23.9.		2.23.10.

7 задания ПО РАЗДЕЛУ «теория вероятностей и математическая статистика»

Задание 24. Решить задачи на определение вероятности случайного события.

2.24.1.

а) В коробке 20 конфет, 12 с шоколадной начинкой, остальные со сливочной. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что попадется одна со сливочной начинкой.

б) Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, во втором и в третьем справочниках соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что нужная формула окажется хотя бы в одном справочнике.

2.24.2.

а) Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не больше 16.

б) На искусственном спутнике Земли установлено два различных прибора для измерения одной и той же величины. Для первого прибора вероятность его безотказной работы в течение месяца равна 0,9; для второго – 0,7. Определить вероятность того, что один прибор выйдет из строя в течение месяца.

2.24.3.

а) На складе имеется 20 аккумуляторов, причем 15 из них изготовлены Тюменским аккумуляторным заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых пяти аккумуляторов – 3 аккумулятора Тюменского завода.

б) Петя купил по одному лотерейному билету трех различных лотерей. Вероятности хоть какого-либо выигрыша в этих лотереях соответственно равны: 0,2; 0,3; 0,25. Найти вероятность того, что у Пети два билета - выигрышные.

2.24.4.

а) Какова вероятность того, что последняя цифра случайно набранного телефонного номера равна пяти или кратна трем?

б) Производится по одному выстрелу из трех орудий. Вероятности попадания в цель для первого орудия – 0,25, для второго – 0,8, для третьего – 0,4. Найти вероятность попадания в цель ровно двумя орудиями.

2.24.5.

а) В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, среди отобранных студентов окажутся 5 отличников

б) Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответит хотя бы один из студентов.

2.24.6.

а) Наудачу взятый телефонный номер состоит из шести цифр. Какова вероятность, что в нём все цифры различные?

б) Вероятность выполнить месячный план по заготовке молока у одного фермера равна 0,95, а другого фермера – 0,97. Какова вероятность того, что месячный план будет выполнен только одним фермером?

2.24.7.

а) На олимпиаду по математике в ВУЗе подали заявки 15 человек с первого курса и 12 человек со второго курса. Какова вероятность того, что среди трех призовых мест два займут студенты первого курса?

б) Вы останавливаете наугад на улице трех человек и спрашиваете, в какой день недели они родились. Какова вероятность того, что хотя бы один из них родился в понедельник?

2.24.8.

а) В лотерее 1000 билетов. Из них на один билет попадает выигрыш 5000 руб., на 10 билетов — выигрыш по 1000 руб., на 50 билетов — выигрыш по 500 руб., остальные билеты невыигрышные. Куплен один билет. Найти вероятность выиграть не менее 1000 рублей.

б) Узел содержит три независимо работающих детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы две детали.

2.24.9.

а) Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5 карт. Какова вероятность того, что среди них не будет карты пиковой масти?

б) Покупатель ищет необходимую ему вещь, обходя три магазина. Вероятность наличия в магазине №1 равна 0,2; в магазине №2 – 0,3; в магазине №3 – 0,1. Какова вероятность того, что необходимая покупателю вещь продается хотя бы в одном магазине?

2.24.10.

а) В ящике находится 30 деталей, из них 25 первого сорта, остальные – второго сорта. Наудачу последовательно вынимаются три детали. Какова вероятность того, что из них две детали окажутся первого сорта?

б) Игорь посадил 3 дерева. Вероятность того, что деревья приживутся, соответственно равны: для первого дерева – 0,9; для второго – 0,7; для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что приживутся только два дерева.

Задание 25.

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Требуется:

1) построить многоугольник распределения;

2) найти функцию распределения F (x) и построить ее график;

3) найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D (Х), среднее квадратическое отклонение σ (Х)).

2.25.1.

x
p	0,2	0,3	0,4	0,1

2.25.2.

x	-2	-1
p	0,3	0,4	0,2	0,1

2.25.3.

x
p	0,1	0,4	0,3	0,2

2.25.4.

x	-1
p	0,2	0,3	0,4	0,1

2.25.5.

x
p	0,1	0,4	0,3	0,2

2.25.6.

x
p	0,4	0,2	0,3	0,1

2.25.7.

x	-2	-1
p	0,2	0,3	0,4	0,1

2.25.8.

x
p	0,2	0,3	0,4	0,1

2.25.9.

x
p	0,1	0,2	0,3	0,4

2.25.10.

x	-2	-1
p	0,3	0,4	0,2	0,1

Задание 26.

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения F (x). Требуется

1) найти дифференциальную функцию распределения f (x) (плотность вероятности);

2) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения;

3) найти вероятность попадания значений случайной величины Х в заданный интервал P(α<X<β);

4) вычислить числовые характеристики М (Х), D (Х), σ (Х).

2.26.1.
2.26.2.
2.26.3.
2.26.4.
2.26.5.
2.26.6.
2.26.7.
2.26.8.
2.26.9.
2.26.10.

Задание 27.

Из генеральной совокупности извлечена выборка. Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде дискретного вариационного ряда, где первая строка – середины частичных интервалов , вторая строка – соответствующие им частоты . Требуется выполнить статистическую обработку экспериментальных данных по следующей схеме:

1) Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения .

2) Построить полигон и гистограмму относительных частот.

3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю , выборочное среднее квадратическое отклонение , исправленное среднее квадратическое отклонение .

4) Сделать предварительный выбор закона распределения по виду гистограммы и полигона относительных частот.

5) Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости .

6) В случае принятия гипотезы о нормальном законе распределения найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной ).

Вычисления проводить с точностью до 0,001.

2.27.1.

x_i
n_i

2.27.2.

x_i	-2
n_i

2.27.3.

x_i	-1
n_i

2.27.4.

x_i	-6	-3
n_i

2.27.5.

x_i	-4	-2
n_i

2.27.6.

x_i
n_i

2.27.7.

x_i	-3
n_i

2.27.8.

x_i	-2
n_i

2.27.9.

x_i	-3	-1
n_i

2.27.10.

x_i
n_i

Библиографический список

1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Юрайт, 2013. - 416 с.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт, 2013.- 480 с.

3. Данко П. Е., Попов А. П., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.ч.1.- М.: Оникс. 2008.– 368 с.

4. Данко П. Е., Попов А. П., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.ч.2.- М.: Оникс. 2008.– 448 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. t. 1.- М.: Интеграл-Пресс, 2010.- 416 с.<