Решение систем линейных уравнений

ВЕКТОРЫ

№ п/п	ПОЯСНЕНИЯ
Задание	Теория	Решение задания
	Вектор задан координатами А (2;-3;0) В (-1;4;7) Найти координаты вектора и его модуль	А (x1;у1;z1) В (x2;у2;z2) Координаты вектора определяем по следующей формуле: Модуль вектора определяем по формуле:	- координаты вектора - модуль вектора
	Найти скалярное и векторное произведения векторов	Пусть ; Скалярное произведение определяется по формуле: - сумма парных произведений одноименных координат. В результате получается число. Векторное произведение векторов вычисляется по следующей формуле: В результате получается вектор. Замечания: нельзя менять строки в определителе.	- скалярное произведение векторов - векторное произведение векторов

 

 

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

№ п/п	ПОЯСНЕНИЯ
Задание	Теория	Решение задания
1.	Найти угловой коэффициент прямой 3х-4y+7=0	Ax+By+C=0 – общее уравнение прямой у=кх+в – уравнение прямой с угловым коэффициентом к, в -отрезок, который прямая отсекает по оси оу. к=tg α; где α – угол, который прямая составляет с положительным направлением оси ох Если к>0, то угол –острый, если к<0, то угол – тупой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с угловым коэффициентом: у-у1=к (х-х1), где точка А(х1; у1), через которую проходит прямая. Для определения углового коэффициента прямой, если она задана общим уравнением необходимо выразить у, а коэффициент при хи будет угловым коэффициентом прямой ; Угол между прямыми: Условие параллельности прямых: к1=к2 Условие перпендикулярности прямых:	3х-4у+7=0 -4у=-3х-7 или 4у=3х+7 угол - острый
2.	Найти угол между прямыми 2х-у+1=0 l1 3х+у-2=0 l2	l1: 2х-у+1=0 у=2х+1 к1=2 l2: 3х+у-2=0 у=-3х+2 к2=-3
3.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;3) перпендикулярно прямой х-4у+5=0 l1	l2; у-у1= к2(х-х1) (1) А(-1;3) - точка, через которую проходит искомая прямая т.к l2┴ l1, то Найдем угловой коэффициент данной прямой: х-4у+5=0 4у=х+5 Найдем угловой коэффициент прямой l2: Подставим в уравнение (1) координаты точки А(-1;3) и к2= -4 у-3= -4(х+1) у-3= -4х-4 4х+у+1=0 Общее уравнение искомой прямой

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

№ п/п	ПОЯСНЕНИЯ
Задание	Теория	Решение задания
1.	Решить систему линейных уравнений тремя методами 1.По правилу Крамера (с помощью определителя) 2.Методом Гаусса (метод исключения неизвестных) 3. Матричным методом	Правило Крамера Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти главный определитель системы: и вспомогательные тогда:   Матричный метод: матричное уравнение. Умножим слева обе части матричного уравнения на А-1, т.е. ; ; матричное решение. Главный определитель , значит, система имеет единственное решение, а матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, имеет обратную Такая матрица определяется по формуле: -минор; - алгебраическое дополнение, минор со знаком. - формула, связывающая алгебраическое дополнение с минором.	Найдем главный и вспомогательный определитель   10(24-35)+3(-66+77) +5(55-44)=11(-10+3+5)=   -22 - 66+77-10(12+21)+5(22+33)=11-330+275= - 44 Метод Гаусса: -2х+6у-10z=-20 -3x+9y-15z=-30 -40y+68z=124 2x+4y-7z=-11 3x-5y+6z=11 40y-90z=-190 10y-17z=-31 4y-9z= -19 -22z=-66 z=3 (1;2;3) - решение системы линейных уравнений Матричный метод: Вычисляем алгебраические дополнения: А11= -11 А21= -7 А31= 1 А12= -33 А22= -9 А32= 17 А13= -22 А23= -4 А33= 10

 

МАТРИЦЫ

№ п/п	ПОЯСНЕНИЯ
Задание	Теория	Решение задания
1.	Даны матрицы Найти: 1. А+В 2. 2А-3В 3. А х В	Матрицы - квадратные матрицы. Существует прямоугольная матрица матрица-строка, матрица-столбец.   Умножение матрицы не число: - все элементы матрицы умножаются на число к. все соответствующие элементы складываются (аналогично вычитаются) - строка умножается на столбец, т.е. соответствующие элементы перемножаются и суммируются это произведение	1. (соответствующие элементы складываются).   2. - сложили соответственно элементы. - элементы умножаются на 2. - все элементы умножаются на (-3)   3.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

№ п/п	ПОЯСНЕНИЯ
Задание	Теория	Решение задания
1.	Вычислить определители: а) б) в)	Определителем второго порядка называется число, получаемое следующем образом: (произведение элементов, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали). Определителем третьего порядка называется число, получаемое следующем образом: - разложение по элементам первой строки. Знаки определяются следующем образом: если сумма индексов, например, 1+1=2 (чётно) –знак не меняется, 1+2=3 (нечётно) – меняем знак элемента на противоположный. Можно раскладывать по элементам любой строки или любого столбца. Не забываем определять знак элемента! Можно вычислить определитель по «правилу треугольника»	а)   б)   в) Или по «правилу треугольника»:

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

№ п/п	ПОЯСНЕНИЯ
Задание	Теория	Решение задания
	Вычислить интеграл по формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, затем оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.	Для приближенного вычисления определенных интегралов имеются несколько способов. Если функция f(х) задана формулой или таблицей, то приближенное значение определенного интеграла можно найти следующим путем: 1)разделить интервал интегрирования точками х1,х2,х3,……хn-1 y на n равных частей ; 2) вычислить значения подынтегральной функции в точках деления , , 3) воспользоваться одной из приближенных формул. Наиболее употребительны следующие приближенные формулы, основанные на геометрическом представлении определенного интеграла в виде площади криволинейной трапеции. I. Формула прямоугольников или   Геометрический чертеж №1 по этой формуле площадь криволинейной трапеции аАBb, которая соответствует интегралу заменяется суммой площадей заштрихованных прямоугольников. Черт. №1 II. Формула трапеций Геометрически (черт.№2) по этой формуле площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей заштрихованных трапеций. III. Формула параболических трапеций (СИМПСОНА); n – число четное.   Геометрически (черт.№3) по этой формуле площадь каждой пары вертикальных полосок заменяется площадью одноименной параболической трапеции, проходящей через три точки кривой с абсциссами хi, xi+1=xi+h и xi+2=xi+2h Черт. №2 Черт №3 Все указанные приближенные формулы будут тем точнее, чем больше взято n посредством каждой из этих формул можно вычислить приближенное значение определенного интеграла с любой желаемой точностью.	По формуле Ньютона-Лейбница Далее делим интеграл интегрирования на 8 равных частей. Находим длину одной части h=1, точки деления хi, значения уi подынтегральной функции в этих точках: и вычисляем интеграл по приближенным формулам. По формуле прямоугольников Абсолютная ошибка этого приближенного значения (по недостатку) равна 38-34,8183=3,1817, а относительная (процентная) ошибка равна . По формуле прямоугольников . Здесь абсолютная ошибка (по избытку) равна 2,8183, а относительная По формуле трапеций Абсолютная ошибка этого результата составляет 0,1817, а относительная . По формуле Симпсона Абсолютная ошибка составляет всего 0,0345, а относительная