Прямоугольник и квадрат. Определения, свойства, признаки

Определение ромба, его свойства и признаки

1. Определение. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Свойства ромба.

Противолежащие стороны ромба параллельны и равны.

AB ∥CD, BC∥AD

AB = CD; BC = AD

Диагонали ромба перпендикулярны.

AC ⊥ BD

Доказательство

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, △ BOC =△ DOC по трем сторонам (BO = OD, OC — совместная, BC = CD). Получаем, что ∠ BOC =∠ COD, и они смежны.

⇒∠ BOC =90^​∘​​ и ∠ COD =90^​∘​​.

Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC =2⋅ AO =2⋅ CO

BD =2⋅ BO =2⋅ DO

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

∠1=∠2; ∠5=∠6;

∠3=∠4; ∠7=∠8.

Доказательство

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

△ BOC, △ BOA, △ AOD, △ COD.

Это значит, что BD, AC — биссектрисы.

Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC ​²​​+ BD ^​2​​=4⋅ AB ​^2​​

Признаки ромба

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

AC ⊥ BD

​ ABCD ​​ — параллелограмм, ABCD⇒ ABCD — ромб.

Доказательство

ABCD является параллелограммом ⇒ AO = CO; BO = OD. Также указано, что AC AC ⊥ BD ⇒△ AOB =△ BOC =△ COD =△ AOD - по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD

Доказано!

Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

∠ A =∠ C, поскольку ABCD — параллелограмм. AC — биссектриса ∠ A и ∠ C.

Следовательно, △ ABC =△ ADC и обе фигуры — равнобедренные треугольники.

Это означает, что AB = BC = CD = DA, и ABCD — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Прямоугольник и квадрат. Определения, свойства, признаки

1. Определение. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника. Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

2. Свойства прямоугольника

1. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.

AB = CD, BC = AD

2. Каждый угол прямоугольника равен 90°.

3. Любой прямоугольник вписывается в окружность, причём диагональ является диаметром этой окружности.

4. Значит, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

5. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

△ ABC =△ ACD, △ ABD =△ BCD