Органические и неорганические последовательности

Математика

Вопрос №1

Числовые последовательности. Действия над последовательностями.

Ответ

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Действия над последовательностями
Пусть { x_n } и { y_n } произвольные последовательности, содержащих одинаковое количество элементов.

 

Суммой (разностью) последовательностей { x_n } и { y_n }, называется последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих членов последовательностей { x_n } и { y_n }.

Аналогично определяются произведение и частное последовательностей { x_n } и { y_n }, в случае частного .
Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность { x_n } на число k, необходимо каждый член этой последовательности умножить на k, т.е.

 

 

▼ Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство

▼ Последовательность { у_n } называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство
|y_n|>M
Пример. у_n =(–1) ^{n – 1} n, принимает значения: 1; –2; 3; –4; … Данная последовательность есть бесконечно большая величина, так как она становится и остаётся с некоторого номера N по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа |M |, | y_n|>M при n N.

▼ Число а называется пределом последовательности { x_n }, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ). Будет выполнено неравенство

 

 

Вопрос №2

2.Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонные и строго монотонные последовательности.

Ответ

Органические и неорганические последовательности

Определение. Последовательность {x_n} принято называть ограниченной, в случае если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

ᴛ.ᴇ. всœе члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {x_n}принято называть ограниченной сверху, в случае если для любого n существует такое число М, что

x_n £ M.

Определение. Последовательность {x_n}принято называть ограниченной снизу, в случае если для любого n существует такое число М, что

x_n ³ M

Пример. {x_n} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а принято называть пределом последовательности {x_n}, в случае если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всœех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n} сходится к а при n®¥.

Свойство: В случае если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.