Записать модель в указанном виде

,где , ,

Оценкой метода наименьших квадратов является

 

Пусть

Теорема Гаусса-Маркова

Пусть матрица – невырожденная, а меж. Ожидания всех

Тогда:

1)

2)Оценка гаусса-Маркова является несмещенной и имеет минимальную дисперсию в классе похожих оценок.

3) , где - ковариационная матрица.

Интервальные оценки в методе наименьших квадратов.

1) - оценка Гаусса – Маркова

Пусть (Шум(погрешность))

Если

а)

Б) по свойству несмещенности

a)+б) =>

Интервальной оценкой называется такой доверительный интервал, вероятность попадания в который не менее .

Итак, доверительный интервал для :

Ответ:

Если известна, то - число и мы имеем случай нормального распределения . Пусть теперь -неизвестна, тогда -СВ

Известно, что если хи квадрат

Поэтому,

Известно что если - распределение стьюдента с n- степенями

Если неизвестная дисперсия, то:

А) оцениваем величиной

Б)

В)

Точную оценку из 2го пункта КР мы подставляем вместо , беря ее за начальное значение интервалов для .

 

Проверка статических гипотез

Статистической гипотезой H называется предположение относительно параметров, либо закон распределения СВ ,определяемой по априорной выборке .

Гипотеза называется основной, если именно она проверяется - .

Гипотеза называется альтернативной (альтернатива)если она конкурирует с . В рассматриваемых законах будем рассматривать одну альтернативу и обозна

Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяется параметр, либо вид распределения СВ.

Пример простых .

Гипотеза называется сложной, если нет такого однозначного аргумента

Пример сложных :

Статистическим критерием называется правило, по которому по реализации гипотеза либо принимается, либо наклоняется в пользу альтернативы

Доверительной областью G называется область значений при которых гипотеза принимается.

Соответственно - критическая область

Если

6) .

Проверка гипотезы о виде закона распределения.

Критерий Пирсона.

Пусть имеется реализация , выборки , порожденной СВ с неизвестной функцией распределения.

Требуется проверить, что СВ имеет определенный закон распределения . Где – некоторые параметры распределения (вектор параметров). Для проверки гипотез в качестве используется критерий Пирсона(статистический критерий

Алгоритм проверки гипотезы:

1)

2)Выбираем

3)По реализации выборки определяем - крайний левый и крайний правый члены вариационного ряда. Интервал разбиваем на Lнепересекающихся интервалов. Получается

Вычисляем кол-во точек , попавших в каждый интервал

Вычисляем Гипотетические вероятности

Ошибкой 1го рода называется событик состоящее в том, что гипотеза отвергается, когда на самом деле она верна.

Ошибкой 2го рода называется событие, состоящее в том. Что мы принимаем гипотезу , когда верна гипотеза .

Уровень значимости называется вероятность ошибки первого рода.

– уровень доверия

- вероятность ошибки второго рода

Алгоритм проверки статистической гипотезы.

1)Выбрать и альтернативу у ней .

2)Выбираем уровень значимости .

3)Выбираем статистику по которой будем проверять гипотезу .

4)Найти распределение

5)Построить в зависимости от формулировки , и уровня критическую область (также можно строить )

6)По апостериорной выборке вычислить значение

7)На уровне доверия применять гипотезу и отклонить в пользу гипотезы .

Взять 7 отрезков – L

- кол-во точек, которое попало в интервал

Критерий Пирсона основан на разности между проверяемой плотностью вероятности и высотами столбцов аппроксимирующей гистограммы

4)Известно, что критерий Пирсона имеет распределение

5)

- квантиль распределения хи квадрат.

]=[0, ]

6,7)Если