Выборочные оценки функции и плоскости распределения.

Закон больших чисел

Опр.: Будем говорить, что случайная последовательность является последовательностью независимых СВ если для СВ попарно независимы СВ

назовем усредненной суммой

· Пусть имеетсяпоследовательность независимых СВ . Будем говорить, что к этой последовательности применен закон больших чисел, если

Теорема Маркова (условия применимости Закона Больших Чисел (ЗБЧ))

* Если для последовательности выполняется условие - , то к этой последовательности применим ЗБЧ.

* Если последовательность образована независимыми одинаково распределенными СВ, то ЗБЧ записывается как (

Доказательство:

;

Теорема Колмогорова.

в условиях предыдущей T если конечно, то справедлива также последовательность почти наверное

Теорема Чебышева.

Для случайной последовательности спарведлив ЗБЧ, если такая

Доказательство:

Центральная предельная теорема.

Пусть - случайная последовательность независимых СВ . Говорят, что к случайной последовательности примеяется ЦПТ, если

Будем говорить, что последовательность независимая СВ удовлетворяет условию Ляпунова, если

Теорема Ляпунова

Если последовательность независимая СВ удовлетворяет условию Ляпунова , то говорят, что у последовательности применима ЦПТ.

Центральная предельная теорема для независимых,одинаково распределенных СВ (НОРСВ).

Математическая статистика.

МС - это наука о методах, позволяющих по статистике данных построить вероятностную модель последующего явления и получать оценки похожих параметров

Однородная выборка объеьа n называется вектор , независимых и одинаково распределенных

Неоднородную выборку называют априорной, а реализацию называют апостериорной.

Пример:

Точечной оценкой неизвестного параметра называется величина построенная на выборке и принимающая значения в множестве .

Оценка всегда является СВю Только послеподстановки в оценку реализации мы получим результаты – часть реализации

Пример: выборочное среднее n выборочная дисперсия

n измерений СВ . Тогда

Пусть разности измерений .

 

Вариационный ряд выборки.

Выборочные оценки функции и плоскости распределения.

1) вариационный ряд

- выборка

– реализация

Алгоритм построения вариационного ряда:

1) Упорядочить реализацию выборки по возрастанию

2) Вариационный ряд строится на основе упорядоченного ряда из утем простого составления индексов

Пример:

1)

2)

2) Выборочная функция распределения

ВФР – оценка истинной функции распределения по выборке

Алгоритм построения:

1) Построить вариационный ряд выборки

		…
		…

2)описать истинную СВ дискретным распределением вида

3) строится как обычная функция распределения

дискретной СВ , описанной в п.2.

Пример:

1)

2)

3)

 

3) Выборочная плотность распределения

ВПР – это оценка плотности распределения СВ по ее выборке . Выборочная плотность так же называется выборочной гистограммой.

Алгоритм построения:

1)Построить вариационный ряд выборки

2)Положить

3)Примем , где N- число интервалов разбития отрезка. - длина каждого из подинтервалов.

N выбирает лицою принимающее решение.

4)Подсчитать -число элементов реализации выборки попадающих в соответствующий интервал

5)Найти -оценки плотности вероятности на интервале по формуле .

Пример:

1)

2)

3)

4)

5) Гистограмма

 

 

4) Выборочная квантиль

Выборочная квантиль – – выборочная функция распределения.

 

 

Метод наименьших квадратов

Пусть имеется модель наблюдений измерений.

Всего измерений и наблюдений – n

На основании зависимости Y от X Y(X) необходимо сделать выводы о ее характере, т.е. к точечной зависимости построим зависимость

 

В методе наименьших квадратов исследуется класс моделей линейно зависящей от вектора параметров , т.е. , где -известные числовые функции. - неизвестные, но искомые параметры. Поскольку в модели измерений n наблюдений присутствуют ошибки наблюдений, то можно добавляют в модель, т.е.

Схема Гаусса – Маркова.