Примеры записи нечеткого множества

Пусть E= {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [ 0,1 ]; A – нечеткое множество, для которого m_A(x ₁)=0,3; m_A(x ₂)=0; m_A(x ₃)=1; m_A(x ₄)=0,5; m_A(x ₅)=0,9. Тогда A можно представить в виде:
A = { 0,3 / x₁; 0 / x₂; 1 / x₃; 0,5 / x₄; 0,9 / x₅ } или
A = 0,3/x₁ È 0/x₂ È 1/x₃ È 0,5/x₄ È 0,9/x₅, или

A =	x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0,3     0,5 0,9

Примеры нечетких множеств

1. Пусть E = {0, 1, 2,.., 10}, M =[0, 1]. Нечеткое множество “несколько” можно определить следующим образом: “несколько”= 0,5/3 È 0,8/4 È 1/5 È 1/6 È 0,8/7 È 0,5/8; его характеристики: высота= 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода – {3, 8}.

2. Пусть E = {1, 2, 3,..., 100} и соответствует понятию “возраст“, тогда нечеткое множество “молодой”, может быть определено с помощью функции принадлежности вида

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎE значение m _A (x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: “этот человек лысый” или “ этот человек не лысый”, тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m_"лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m _A (x_i) = w _i, i = 1, 2,..., n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij = w _i / w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1 / a_ij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. Доказано [3], что в общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида А w = l_maxw, где l_max – наибольшее собственное значение матрицы A. Имеет место теорема Перрона, согласно которой для матрицы А с положительными элементами решение данной задачи существует и является положительным.

В случае идеальной согласованности экспертных оценок должно выполняться соотношение . (1)

В этом случае l_max совпадает с n – размерностью матрицы

А. В случае нарушения условия (1) l_max меньше n. Таким образом, величина разности l_max – n может служить мерой согласованности экспертных оценок.

Для вычисления l_max можно рекомендовать метод скалярных произведений. Метод основан на следующем соотношении:

,

при произвольном векторе у₀. Для вычислений удобнее строить две последовательности векторов: у_k = А^kу₀ и z_k = (А^T)^kу₀. Тогда

.

Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE m_A(x) > m_B(x). Обозначение: A Ì B.

Равенство. A и B равны, если "xÎE m_A(x) = m_B(x). Обозначение: A = B.

Дополнение. Пусть M = [0, 1], A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
"xÎE m_A(x) = 1 – m_B(x). Обозначение: B = или A = . Очевидно, что . (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение. A Ç B – наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B;

m _{A Ç B} (x) = min{m_A(x), m_B(x)}.

Объединение.А È В – наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

m _{AÈ B} (x) = max {(m_A(x), m_B(x)}.

Разность. А \ B= А Ç с функцией принадлежности:

m_A\B(x) = min { m_A(x), 1 – m_B(x)}.

Например.

Пусть: A = 0,4/ x₁ È 0,2/ x₂ È 0/ x₃ È 1/ x₄;

B = 0,7/ x₁ È 0,9/ x₂ È 0,1/ x₃ È1/ x₄;
C = 0,1/ x₁ È 1/ x₂ È 0,2/ x₃ È 0,9/ x₄.

Здесь:

1. A Ì B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.

2. A ¹ B ¹ C.

3. = 0,6/ x₁ È 0,8/ x₂ È 1/ x₃ È 0/ x₄;
= 0,3/ x₁ È 0,1/ x₂ È 0,9/ x₃ È 0/ x₄.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №2

1. Для нечёткого множества варианта:

a) прямым методом задать функцию принадлежности нечёткого множества (использовать 3-5 точек интервала, для которого );

b) построить аппроксимацию функции принадлежности , проходящую через эти точки, используя элементарные функции;

c) построить матрицу парных сравнений для определения функции принадлежности косвенным методом.

2. Выполнить операции над нечеткими множествами.