Метод математической индукции

ФБГОУ ВПО

“ВоронежскИЙ государственнЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ технологиЙ”

Кафедра информационных технологий,

Моделирования и управления

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Методические указания к практическим и лабораторным занятиям

по дисциплине "Дискретная математика"

Для бакалавров, обучающихся

По направлениям 230400, 230700

и специалистов – по специальности 090303

Очной формы обучения

Метод математической индукции

Метод математической индукции – универсальный способ доказательства утверждений, зависящих от натурального аргумента n. Он основан на следующем принципе математической индукции: утверждение справедливо для любого натурального n, если: 1⁰ оно справедливо для n = 1;

2⁰ из того, что оно верно для всех n £ k (k ³ 1) следует его справедливость для n = k + 1.

Этот принцип, являющийся одной из аксиом натурального ряда можно перефразировать так: если в цепочке утверждений Р(n) первое утверждение Р(1) верно, а из справедливости Р(k) следует справедливость Р(k + 1), то вся цепочка состоит из верных утверждений.

Задача 1. Найти сумму .

Решение. Имеем: ; ; ; . Есть подозрение, что . Докажем эту формулу.

1⁰. При n = 1 – формула верна.

2⁰. Предположим, что для произвольного k ³1 для всех n£ k . В частности, для n = k . Найдем . Имеем . По предположению это равно

= = = ,

что и требовалось доказать.

Слово “индукция” переводится как “наведение”. Во многих отраслях науки используют метод простой (не математической) индукции – вывод, полученный после рассмотрения ряда частных случаев (согласно принципу простой индукции – от частного к общему). В основном так поступают, обобщая результаты каких-то экспериментов. Так, в предыдущем примере, при выводе возможной формулы для S_n, предварительно были найдены значения S₁, S₂, S₃, …. Однако индуктивное утверждение может быть неверным, простая индукция позволяет лишь выдвинуть гипотезу, которую надо доказать, например, с помощью математической (полной) индукции. Можно привести много примеров, когда простая ндук-ция приводит к ошибочным выводам. Например, анализируя числа 1, 3, 5, 7 можно прийти к неверноиу заключению, что все не-четные числа являются простыми.

Слово ”индукция” в названии рассматриваемого метода, видимо, связано с тем, что для его использования необходимо сначала догадаться, что именно следует доказать, т.е. выдвинуть гипотезу. Обычно это делается с помощью простой индукции.

Задача 2. “Докажем”, что все натуральные числа равны между собой. Предположим, что k = k + 1. Прибавим по 1 к обеим частям этого равенства. Получим k + 1 = k + 2, что и требовалось доказать. Ошибка этого “доказательства” состоит в отсутствии проверки утверждения при n = 1.

Задача 3. Доказать неравенство 2ⁿ > 2n + 1 при n ³ 3.

Решение.

1⁰. 2³ > 7.

2⁰. 2^k^{+ 1} = 2×2^k > 2(2k + 1) = 4k + 2 = (2k + 3) + (2k – 1) > 2k + 3.

Задача 4. Доказать, что для любого n ³ 0 число 11ⁿ^{+ 2} + 12²ⁿ^{+ 1} делится на 133.

Решение.

1⁰. 11² + 12¹ = 133 – верно при n = 0.

2⁰. 11^k⁺³ + 12²⁽^k^{+ 1) +1} = 11×11^k^{+ 2} + 144×12²^k^{+ 1} = (144–133) ´ ´11^k^{+ 2} + 144×12²^k^{+ 1} = 144 × (11^k^{+ 2} + 12²^k^{+ 1}) – – 133×11^k^{+ 2}.

В полученной разности уменьшаемое делится на 133 по предположению, а вычитаемое содержит множитель 133. Следовательно, все выражение делится на 133.