Основные понятия
Обобщим понятие функции одной переменной на случай нескольких переменных. Для простоты изложения будем рассматривать в дальнейшем функцию двух переменных.
Определение. Функцией f двух переменных x и у, обозначаемой в дальнейшем 
, называют такое отображение множества 
на множество действительных чисел 
, при котором каждой паре действительных чисел 
соответствует единственное действительное число .
Совокупность всех пар действительных чисел , при которых функция f имеет смысл, называют ее областью определения и обозначают 
.
Множество значений, принимаемых переменной z называют областью изменения функции и обозначают 
.
Геометрически изображается в виде некоторой совокупности точек плоскости xOy. Это множество точек может быть ограниченным или неограниченным, открытым или закрытым.
Область изменения изображается в виде некоторой поверхности.
Определение. Совокупность точек, лежащих внутри круга радиуса 
с центром в точке 
, называется окрестностью точки радиуса и обозначается 
.
Символическая запись: 
.
Определение. Число А называется пределом функции 
в точке 
, если для любой последовательности точек 
из , которая сгущается возле точки , соответствующая последовательность значений функции 
попадает в 
и сгущается возле точки А.
При этом записывают: 
или 
.
Определение. Функция 
называется непрерывной в точке , если:
1. 
определена в невыколотой окрестности точки ;
2. существует 
.
Частные производные
Пусть функция определена в невыколотой . Тогда можно рассматривать разные приращения этой функции в т. Ро:
∆z = f (xо + ∆x, yо + ∆y) – f (xо , yо) – полное приращение;
∆хz = f (xо + ∆x, yо) – f (xо , yо) – частное приращение по независимой переменной х;
∆уz = f (xо, yо + ∆y) – f (xо , yо) – частное приращение по независимой переменой у.
у
(xо,yо+∆y) (xо+∆x,yо+∆y)
∆y ρ ∆z ≠ ∆хz + ∆уz
 |
(xо,yо) ∆x (xо+∆x,yо)
х
Согласно определению:
называют частной производной по х и обозначают: 
= .
Аналогично:
= 
- частная производная по у, т.е.
частная производная функции двух переменных определяется как производная функции одной из переменных при условии постоянства другой. Поэтому частные производные функции нескольких переменных находят по формулам и правилам вычисления производной функции одной переменной. При этом, если дифференцирование происходит по одной из переменных, то в процессе дифференцирования другую переменную считаем константой.
Геометрический смысл первой частной производной:
Пусть поверхность описывается уравнением . Тогда в т. определяет угловой коэффициент касательной к кривой, которая получена сечением поверхности 
плоскостью 
, проходящей через т. 
.
Определение. Производной n го порядка называют 1-ую производную от производной (n-1) го порядка.
или 
или 
или 
и т.д.
Доказано, что две смешанные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой во всех точках непрерывности, т.е.
. (1)
Дифференциал функции двух переменных и его приложения
Определение. Функция называется дифференцируемой в т. , если её полное приращение в этой точке можно записать в виде
, где
, 
, 
;
Определение. Дифференциалом dz первого порядка (или полным дифференциалом) функции называют главную часть приращения функции, линейную относительно 
и 
, то есть: 
.
Т.к. 
и 
, то 
, (2)
где 
- частные дифференциалы по x и y соответственно.
То есть полный дифференциал 
.
Пусть известно значение функции в некоторой точке 
. Требуется вычислить значение этой же функции в т. 
.
Очевидно, что 
.
Так как 
, то это равенство принимает вид:
. (3)
