Дифференциал функции двух переменных и его приложения

Основные понятия

Обобщим понятие функции одной переменной на случай нескольких переменных. Для простоты изложения будем рассматривать в дальнейшем функцию двух переменных.

Определение. Функцией f двух переменных x и у, обозначаемой в дальнейшем , называют такое отображение множества на множество действительных чисел , при котором каждой паре действительных чисел соответствует единственное действительное число .

Совокупность всех пар действительных чисел , при которых функция f имеет смысл, называют ее областью определения и обозначают .

Множество значений, принимаемых переменной z называют областью изменения функции и обозначают .

Геометрически изображается в виде некоторой совокупности точек плоскости xOy. Это множество точек может быть ограниченным или неограниченным, открытым или закрытым.

Область изменения изображается в виде некоторой поверхности.

Определение. Совокупность точек, лежащих внутри круга радиуса с центром в точке , называется окрестностью точки радиуса и обозначается .

Символическая запись: .

Определение. Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек из , которая сгущается возле точки , соответствующая последовательность значений функции попадает в и сгущается возле точки А.

При этом записывают: или .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если:

1. определена в невыколотой окрестности точки ;

2. существует .

 

 

Частные производные

Пусть функция определена в невыколотой . Тогда можно рассматривать разные приращения этой функции в т. Р_о:

∆z = f (x_о + ∆x, y_о + ∆y) – f (x_о , y_о) – полное приращение;

∆_хz = f (x_о + ∆x, y_о) – f (x_о , y_о) – частное приращение по независимой переменной х;

∆_уz = f (x_о, y_о + ∆y) – f (x_о , y_о) – частное приращение по независимой переменой у.

у

 

(x_о,y_о+∆y) (x_о+∆x,y_о+∆y)

∆y ρ ∆z ≠ ∆_хz + ∆_уz

(x_о,y_о) ∆x (x_о+∆x,y_о)

х

 

Согласно определению:

называют частной производной по х и обозначают: = .

Аналогично:

= - частная производная по у, т.е.

частная производная функции двух переменных определяется как производная функции одной из переменных при условии постоянства другой. Поэтому частные производные функции нескольких переменных находят по формулам и правилам вычисления производной функции одной переменной. При этом, если дифференцирование происходит по одной из переменных, то в процессе дифференцирования другую переменную считаем константой.

 

Геометрический смысл первой частной производной:

Пусть поверхность описывается уравнением . Тогда в т. определяет угловой коэффициент касательной к кривой, которая получена сечением поверхности плоскостью , проходящей через т. .

Определение. Производной n ^го порядка называют 1-ую производную от производной (n-1) ^го порядка.

или

или

или и т.д.

Доказано, что две смешанные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой во всех точках непрерывности, т.е.

. (1)

 

 

Дифференциал функции двух переменных и его приложения

Определение. Функция называется дифференцируемой в т. , если её полное приращение в этой точке можно записать в виде

, где

, , ;

Определение. Дифференциалом dz первого порядка (или полным дифференциалом) функции называют главную часть приращения функции, линейную относительно и , то есть: .

Т.к. и , то , (2)

где - частные дифференциалы по x и y соответственно.

То есть полный дифференциал .

 

Пусть известно значение функции в некоторой точке . Требуется вычислить значение этой же функции в т. .

Очевидно, что .

Так как , то это равенство принимает вид:

. (3)