Нехай задані дві генеральні сукупності, що характеризуються незалежними нормально розподіленими випадковими величинами 
і 
із параметрами, відповідно, 
і 
. Позначимо 
, 
. Припустимо, що математичні сподівання 
і 
невідомі, тоді нехай потрібно перевірити гіпотезу про їх рівність, тобто 
. Для перевірки гіпотези 
за відповідної альтернативної гіпотези 
із кожної сукупності проводиться вибірка: з першої – обсягу 
, за якою отримуємо вибіркове середнє 
, з другої – обсягу 
, з якої отримуємо вибіркове середнє 
. Усі критерії перевірки гіпотези ґрунтуються на порівнянні статистик кожної із генеральних сукупностей. Тут знову розглянемо кілька випадків.
Випадок I. Дисперсії 
та 
ознак і відомі. За критерій перевірки гіпотези вибираємо статистику 
:
. (12.8)
Якщо
1) конкуруюча гіпотеза 
, то критична область двостороння, і критичну точку 
шукаємо з рівності:
. (12.9)
Далі робимо висновок про гіпотезу: якщо 
, то приймаємо нульову гіпотезу; якщо 
, то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези 
2) конкуруюча гіпотеза 
(критична область правостороння), то рівняння для знаходження критичної точки набуває вигляду
(12.10)
Знову робимо такі висновки стосовно нульової гіпотези : якщо 
, то приймаємо нульову гіпотезу; якщо 
, то гіпотезу відхиляємо на користь альтернативної гіпотези
3) конкуруюча гіпотеза 
(критична область лівостороння), тоді критичну точку знаходимо з рівняння (12.10).
Якщо 
, то приймаємо нульову гіпотезу; якщо 
, то гіпотезу відхиляємо, а приймаємо альтернативну гіпотезу
Приклад 12.4. З двох нормально розподілених генеральних сукупностей, що характеризуються випадковими величинами 
і 
з параметрами 
та 
відповідно, утворені вибірки обсягами 
і 
відповідно, і обчислені їх вибіркові середні значення 
і 
. При рівні значущості 
перевірити гіпотезу про рівність математичних сподівань 
за альтернативної гіпотези 
, якщо 
.
Розв’язання. Спираючись на формулу (12.8) знаходимо 
: 
За таблицею додатка 3 знаходимо розв’язок рівняння (12.9) 
звідки 
. Оскільки 
, то гіпотезу відхиляємо.
Випадок II. Дисперсії та ознак і невідомі. Нехай випадкові величини і , що описують дві генеральні сукупності, незалежні і нормально розподілені. Їх математичні сподівання і та дисперсії 
і 
є невідомі. За даними вибірок великих обсягів п і т 
та за даним рівнем значущості 
перевіряємо гіпотезу 
(про рівність математичних сподівань випадкових величин і ) за відповідної альтернативи .
За умов даної моделі критерій перевірки гіпотези будуємо аналогічно, як у Випадку I цього пункту, з тією лиш різницею, що за значення невідомих дисперсій 
і 
приймаємо виправлені вибіркові дисперсії 
, які обчислюємо для даних вибірок. В цьому випадку за критерій беруть статистику
(12.11)
У випадку вибірок малих обсягів п і т для перевірки гіпотези 
використовується статистика
яка, як і статистика (12.11), має розподіл Стьюдента з числом k = n + m – 2 ступенів вільності.
Подальша побудова критичної області здійснюється аналогічно, як викладено у Випадку 1, з тією відмінністю, що критичні точки 
визначаються за таблицею розподілу Стьюдента (додаток 7).
Якщо нульова гіпотеза (як у Випадку I так і у Випадку II) приймається, то за значення 
і 
вибираємо спільне вибіркове середнє, яке обчислюємо за формулою
Приклад 12.5. Середній щоденний об’єм продажу в І кварталі поточного року для 37 продавців району А становить 15 тис. грн., а виправлене середнє квадратичне відхиленні 4,5 тис. грн., для 40 продавців району В – 13 тис. грн. і 5 тис. грн. відповідно. Кожну групу можна вважати випадковою незалежною вибіркою з відповідної нормально розподіленої генеральної сукупності. Чи суттєва різниця об’ємів продажу в районах А та В при 5%-му рівні значущості?
Розв’язання. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення законів розподілу об’ємів продажу для районів А та В невідомі. В такому випадку виникає задача оцінки статистичної гіпотези 
якщо взяти за 
математичне сподівання об’ємів продажу для району А, а за 
– для району В за конкуруючої гіпотези 
,
Обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою (12.11): 
Випадкова величина 
підпорядкована розподілу Стьюдента з 
ступенями вільності. За таблицею розподілу ( додаток 7 ) для 
і 
-го рівня значущості (для двосторонньої критичної області) знаходимо 
. Це означає, що критична область є об’єднанням інтервалів 
. Отримане значення критерію 
не належить критичній області. Звідси випливає, що різниця об’ємів продажу в районах А та В несуттєва і гіпотеза 
приймається. За спільне вибіркове середнє вибирають величину
Отже, середній денний об’єм продажу в кожному з районів становить приблизно 13,96 тис. грн.
.
