Объем тела, образованного вращением криволинейной трапецией вокруг оси 
, которая ограниченной кривой 
, осью и двумя прямыми 
и 
, находится по формуле
. (1.9)
Вычисление площади поверхности тела вращения
Если дуга 
кривой , где функция 
непрерывно дифференцируема и 
, 
, вращается вокруг оси , то площадь описанной ею поверхности выражается формулой
. (1.10)
2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА В ФИЗИКЕ
Вычисление работы переменной силы
Пусть материальная точка 
перемещается под действием силы 
, направленной вдоль оси 
и имеющей переменную величину 
, где 
- абсцисса движущейся точки .
Найдем работу 
силы по перемещению точки вдоль оси из точки 
в точку 
. Для этого отрезок 
точками 
, где 
, разобьем на 
частичных отрезков 
, 
, …, 
. Сила, действующая на отрезке 
, меняется от точки к точке. Но если длина отрезка 
достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции в произвольно выбранной точке 
. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке , равна произведению 
.
Приближенное значение работы силы на всем отрезке есть
.
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина 
. Поэтому за точное значение работы принимается предел полученной суммы при условии, что наибольшая длина l частичных отрезков стремится к нулю:
.
Итак, если под действием силы 
материальная точка движется по прямой , то работа этой силы на участке пути определяется по формуле:
. (2.1)
Для нахождения работы используются следующие методы:
- Метод интегральных сумм.
- Метод дифференциала.
«Метод сумм» основан на представлении определенного интеграла как суммы бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.
Пример 2.1. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара 
. Удельный вес воды принять 
, 
, если : конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 4 м, высота 6 м.
Решение. Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом 
на высоту 
, равна 
. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
Чтобы найти 
, рассмотрим треугольники 
и 
. Эти треугольники подобные. Тогда
Þ 
Þ 
.
Следовательно,
.
Этот слой нужно поднять на высоту 
. Элементарная работа 
, затраченная на выкачивание слоя 
, определяется формулой
или 
.
Работа по выкачиванию всей воды равна сумме всех элементарных работ, т.е работа находится по формуле
.
В нашем случае 
, 
. Тогда
,
Вычисление координат центра масс
Плоской фигуры
Если фигура ограничена снизу линией 
, а сверху - 
, т.е. 
на отрезке , поверхностна плотность фигуры 
, то вычисление ее центра масс 
выполняется по формулам:
,
(2.2.)
.
