Вычисление объема тела вращения

 

Объем тела, образованного вращением криволинейной трапецией вокруг оси , которая ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , находится по формуле

. (1.9)

 

Вычисление площади поверхности тела вращения

 

Если дуга кривой , где функция непрерывно дифференцируема и , , вращается вокруг оси , то площадь описанной ею поверхности выражается формулой

. (1.10)

 

2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА В ФИЗИКЕ

 

Вычисление работы переменной силы

 

Пусть материальная точка перемещается под действием силы , направленной вдоль оси и имеющей переменную величину , где - абсцисса движущейся точки .

Найдем работу силы по перемещению точки вдоль оси из точки в точку . Для этого отрезок точками , где , разобьем на частичных отрезков , , …, . Сила, действующая на отрезке , меняется от точки к точке. Но если длина отрезка достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции в произвольно выбранной точке . Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке , равна произведению .

Приближенное значение работы силы на всем отрезке есть

.

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина . Поэтому за точное значение работы принимается предел полученной суммы при условии, что наибольшая длина l частичных отрезков стремится к нулю:

.

 

Итак, если под действием силы материальная точка движется по прямой , то работа этой силы на участке пути определяется по формуле:

. (2.1)

 

Для нахождения работы используются следующие методы:

• Метод интегральных сумм.
• Метод дифференциала.

 

«Метод сумм» основан на представлении определенного интеграла как суммы бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.

 

Пример 2.1. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара . Удельный вес воды принять , , если : конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 4 м, высота 6 м.

Решение. Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом на высоту , равна . Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Чтобы найти , рассмотрим треугольники и . Эти треугольники подобные. Тогда

Þ Þ .

Следовательно,

.

 

Этот слой нужно поднять на высоту . Элементарная работа , затраченная на выкачивание слоя , определяется формулой

или .

 

Работа по выкачиванию всей воды равна сумме всех элементарных работ, т.е работа находится по формуле

.

 

В нашем случае , . Тогда

 

,

 

Вычисление координат центра масс

Плоской фигуры

 

Если фигура ограничена снизу линией , а сверху - , т.е. на отрезке , поверхностна плотность фигуры , то вычисление ее центра масс выполняется по формулам:

,

(2.2.)

.