Вычисление площади плоской фигуры
Площадь фигуры в декартовой системе координат
Пусть на отрезке 
задана непрерывная функция 
. Фигура, ограниченная сверху графиком функции 
, снизу – осью 
, сбоку – прямыми 
и 
, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.
Умножим значение функции 
на длину 
соответствующего частичного отрезка. Произведение 
равно площади прямоугольника с основанием 
и высотой . Сумма всех таких произведений
равна площади ступенчатой фигуры, которая приближенно равна площади 
криволинейной трапеции:
.
С уменьшением всех длин точность приближения ступенчатой фигуры к криволинейной трапеции и точность полученной формулы увеличивается. За точность значения площади криволинейной трапеции принимается предел , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры 
, когда 
неограниченно возрастает так, что 
: 
.
А как было выведено выше
.
Таким образом, если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением 
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой двумя прямыми и и отрезком оси абсцисс , определяется формулой
. (1.1)
Если функция 
непрерывна и неположительная на отрезке , то функция 
является неотрицательной на отрезке . Тогда
.
Так как в силу симметрии площади криволинейных трапеций, находящихся под осью 
и над осью , равны, то в случае неположительной функции 
интеграл 
равен значению площади криволинейной с точностью до знака.
Пример 1.1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
.
Решение. Строим графики заданных линий.
- график парабола, вершина которой находится в точке 
, точки пересечения с осями координат: 
- с осью и 
- с осью 
.
- график прямая, которую строим по двум точкам.
Находим абсциссы точек пересечения кривых. Решаем систему уравнений
Тогда
(кв.ед.).
,
Площадь фигуры в полярной системе координат
Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением 
, площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами, соответствующие значениям 
и 
полярного угла выражается формулой:
. (1.4)
Пример 1.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
.
Решение. Запишем уравнение кривой в полярной системе координат. Получим:
- лемниската Бернулли.
, 
. Тогда
.
Следовательно, 
.
,
Площадь фигуры, заданной параметрическими уравнениями
Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями 
и 
, то площадь криволинейной трапеции находится по следующей формуле
, (1.5)
где 
и 
определяются из уравнений 
и 
(
на отрезке 
.
Приложения определенного интеграла
В геометрии
Вычисление длины дуги
Длина гладкой кривой между двумя точками с абсциссами и находится по формуле (в декартовой системе координат:
. (1.6)
Когда кривая 
задана параметрическими уравнениями и , где 
, 
- непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги вычисляется по формуле:
. (1.7)
Здесь и - значения параметра 
, соответствующие концам дуги 
и 
.
Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина дуги 
вычисляется по формуле
, (1.8)
где и соответствуют концам 
и 
.
