Пусть далее 
некоторые выражения с неизвестной 
, 
.
I тип: 
. (1)
Возведение в 
ю степень приводит к равносильному уравнению
.
Уравнение 
(2)
после возведения в ю степень сводится к равносильному уравнению 
.
. (3)
Возведение в степень 2n приводит к уравнению-следствию
, (4)
Найденные корни уравнения (4) проверяют подстановкой в (3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (3).
Уравнение
, (5)
после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию
. (6)
Корни уравнения (6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5).
II тип:
, (7)
где 
.
1 способ. Необходимо возвести уравнение (7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.
2 способ. Умножение уравнения (7) на сопряженное выражение
.
Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение h(x) = 0. Затем для h(x) ¹ 0 рассматривают систему
Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (3).
3 способ. Замена переменных
и переход к системе уравнений относительно u, v.
, (8)
где a, b Î R.
Возведением в куб обеих частей уравнение (8) сводится к уравнению
. (9)
Выражение в скобках (в левой части уравнения (9)) заменяют на 
, используя заданное уравнение. В итоге заданное уравнение (8) приводится к уравнению-следствию, которое снова возводят в куб.
Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (8).
III тип. Уравнения, решаемые заменой переменной.
В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.
Если уравнение имеет вид
, 
(10)
где F – некоторое алгебраическое выражение относительно 
, то заменой 
оно сводится к уравнению
. (11)
После решения уравнения (11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (10).
IV тип. Уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения
, (12)
где a > 0, b > 0, сводится к решению системы
V тип. Уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.
Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.
1. Если 
и 
для всех 
, то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений
2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для xÎX, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.
3. Если f(x) – возрастающая функция, то уравнение 
равносильно уравнению 
.
4. Если f(x) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение 
равносильно уравнению 
.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
.
Приводим подобные. При этом в левой части уравнения записываем корень, остальные слагаемые – в правой части:
.
Возводим полученное уравнение в квадрат еще раз.
Решая последнее квадратное уравнение, находим корни 
, которые теперь необходимо проверить. Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Первый корень не подходит.
Приходим к ответу: 
.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение. Возведем обе части уравнения в куб:
Воспользовавшись исходным уравнением, заменим выражение 
выражением 
. Получаем
.
Решаем совокупность уравнений
В результате замены выражения могут появиться посторонние корни, т.к. такое преобразование не является равносильным. Поэтому необходимо произвести проверку. Подставляем найденные значения и убеждаемся, что они являются корнями исходного уравнения.
Приходим к ответу: 
Пример 3. Решить уравнение
.
Решение. Возведение уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой степени и громоздкому решению.
Нетрудно заметить, что в данном уравнении можно произвести замену. Но перед этим преобразуем уравнение следующим образом:
Заменив 
, получаем квадратное уравнение
.
Решая его, находим корни 
.
Возвращаемся к исходной неизвестной:
Первое уравнение решений не имеет, т.к. его левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна. Второе уравнение возводим в квадрат. Получаем
, т.е. 
.
Его корни 
. С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят, т.е. приходим к ответу: 
.
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение. Способ 1. Перенесем второй корень вправо:
.
Возводим обе части в квадрат:
Еще раз возводим в квадрат и получаем квадратное уравнение, решая которое и получаем корни 
. Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Оба корня подходят.
Способ 2. Введем замену 
, тогда 
, 
. Таким образом получили более простое уравнение
, т.е. 
.
Возведем его в квадрат:
Возвращаемся к исходной неизвестной:
.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
, откуда 
.
При помощи проверки убеждаемся, что оба корня подходят.
Способ 3. Домножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим
Сложим последнее уравнение с исходным. Получим
, т.е. 
.
Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение
.
Решая его, находим корни 
.
Приходим к ответу: 
.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение. Пусть 
. Тогда 
и 
, 
по условию.
Получили систему
Решая ее методом подстановки
Второе уравнение решим отдельно
;
;
;
.
Получаем корни
Возвращаемся к системе:
Получаем
Переходим к заданным неизвестным:
Решая последнюю совокупность, находим корни 
и 
. С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят.
Получили ответ: , .
При решении иррациональных уравнений, как правило, нахождение ОДЗ является бесполезным, т.к. проверка решений по ОДЗ недостаточна. Но существует ряд примеров, в которых нахождение ОДЗ является тем методом, который приводит к успеху. Покажем это на следующем примере.
Пример 6. Решить уравнение
.
Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:
Решаем последнюю систему неравенств (рис. 10)
Рис.10
Получили, что ОДЗ состоит из единственной точки .
Остается подставить значение в уравнение и выяснить, является ли оно решением:
.
Получили, что – решение.
Пример 7. Решить уравнение
.
Решение: Используем графический способ. Строим графики функций 
, 
(рис.11).
Рис.11
Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке x = 7. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверяем x = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение решения уравнения.
Получили ответ: x = 7.
Задания
I уровень
1.1. Определите, имеет ли уравнение корни:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
1.2. Решите уравнение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
;
17) 
; 18) 
;
19) 
;
20) 
.
1.3. Решите уравнение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
;
12) 
.
1.4. Решите уравнение графически:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1) 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
;
12. 
;
13. 
;
14. 
;
15. 
;
16. 
;
17. 
.
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
.
3.2. Решите уравнение:
1) 
; 2) 
.
