Степени и корни
5.1 Корень 
ой степени
Для всякого числа a Î R определена степень с натуральным показателем an, n Î N.
Число b Î R называется корнем n-й степени, n Î N, n ³ 2, из числа а, если 
, обозначают 
.
Нахождение корня n-й степени из данного числа а называют извлечением корня n-й степени из числа а. Число а, из которого извлекается корень n-й степени, называют подкоренным выражением, а число n – показателем корня.
Если 
, то 
определен для всех a Î R и принимает любые действительные значения.
Если 
, то 
определен для всех a ³ 0 (aÎR). В курсе элементарной математики рассматривают арифметическое значение корня, т.е. число 
.
Свойства корней
Пусть a, b Î R. Тогда:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
, (где a ³ 0 в случае 
);
7) 
, (где 
в случае 
);
8) 
(где 
в случае 
).
Пример 1. Вычислить 
.
Решение. Способ 1. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:
;
.
Тогда получим
.
Способ 2. Обозначим вычисляемое выражение через a, т.е.
. Заметим, что 
.
Возведем обе части полученного равенства в квадрат:
Тогда 
.
Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем a = 4.
Пример 2. Упростить: 
.
Решение. Способ 1. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также свойства корней. Получаем
.
Способ 2. При упрощении иррациональных выражений часто бывает эффективным метод рационализации, основанный на замене переменных.
Введем такую замену переменных, чтобы корни извлеклись: 
.
Заданное выражение приобретает вид
.
Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:
.
Возвращаясь к старым переменным, приходим к ответу 
.
Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение.
1. Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:
2. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и воспользуемся формулой суммы кубов:
.
3. Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения:
Задания
I уровень
1.1. Вычислите значения корней:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
; 15) 
.
1.2. Сравните числа:
1) 
и 
; 2) 
и 
;
3) 
и 
; 4) 
и 
;
5) 
и 
; 6) 
и 
;
7) 
и 
; 8) 
и 1;
9) 
и 
; 10) 
и 
;
11) 
и ; 12) 
и ;
13) 
и 
; 14) 
и 
.
1.3. Упростите выражение:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
;
12) 
; 13) 
;
14) 
; 15) 
.
1.4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
;
II уровень
2.1. Упростите выражение:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
.
2.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
.
2.3. Упростите выражение:
1) 
;
2) 
.
III уровень
3.1. Упростите выражение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
;
8) 
.
3.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
.
Степень с произвольным действительным показателем
Во множестве R определена степень ax с действительным показателем.
В выражении ax число а называют основанием степени, число x показателем степени. Нахождение значения степени называют возведением в степень.
Степень с действительным показателем
Пусть a Î R, тогда:
1) 
, n Î N;
2) 
;
3) 
;
4) 
и a ³ 0, если 
;
5) 
и если , то a ³ 0
6) 
и если , то ;
7) 
, где 
, определяется следующим образом.
Пусть иррациональное число k записано в виде десятичной дроби, 
– последовательность его десятичных приближений с недостатком (или с избытком). Для любого действительного числа а > 0 степень с иррациональным показателем определяется равенством
.
На множестве R не определены отрицательная и нулевая степень числа 0, а также 
, если 
.
Свойства степеней
Допустим, что a, b, c Î R и это такие числа, что все степени имеют смысл. Тогда:
1) 
;
2) 
;
3) 
,
4) 
;
5) 
;
6) если a > 1 и x < y, то 
,
если 0 < a < 1 и x < y, то 
;
7) если 0 < a < b и x >0, то 
,
если 0 < a < b и x < 0, то 
.
Пример 1. Вычислить 
.
Решение. Используем свойства степеней
Пришли к ответу: 
.
Задания
1.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
.
1.2. Выполните действия:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
;
8) 
; 9) 
.
1.3. Найдите 
из уравнения:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
1.4. Упростите выражение:
1) 
.
II уровень
2.1. Вычислите:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
2.2. Упростите выражение:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
III уровень
3.1. Вычислите:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
4) 
;
5) 
.
3.2. Найдите значение выражения:
1) 
при 
;
2) 
Степенная функция
Функция 
, где 
переменная величина, 
заданное число, называется степенной функцией.
Если 
, то 
линейная функция, ее график прямая линия (см. 4.3.).
Если 
, то 
квадратичная функция, ее график – парабола (см. 4.3.).
Если 
, то 
, ее график – кубическая парабола (см. 4.3.).
Степенная функция 
.
Это обратная функция для .
1 Область определения: 
.
2 Множество значений: 
.
3 Четность и нечетность: функция нечетная.
4 Периодичность функции: не периодическая.
5 Нули функции: x = 0 –единственный нуль.
6 Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7 Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8 График функции симметричен графику кубической параболы относительно прямой y = x и изображен на рис. 1.
Рис. 1
Степенная функция 
, 
.
1. Область определения: 
.
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция четная.
4. Периодичность функции: не периодическая.
5. Нули функции: единственный нуль x=0.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для x=0, оно равно 0.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке 
и возрастающей на промежутке 
.
8. График функции (для каждого n Î N) «похож» на график квадратичной параболы 
(графики функций 
изображены на рис. 2.
Рис. 2
Степенная функция 
, 
.
1. Область определения: 
.
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: не периодическая.
5. Нули функции: x=0 – единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом 
.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. График функции (для каждого ) «похож» на график кубической параболы.
(графики функций 
изображены на рис. 3).
Рис. 3
Степенная функция, 
.
1 Область определения: 
.
2 Множество значений: 
.
3 Четность и нечетность: функция нечетная.
4 Периодичность функции: не периодическая.
5 Нули функции: нулей не имеет.
6 Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .
7 Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.
8 Асимптоты: 
(ось Оу) – вертикальная асимптота;
(ось Ох) – горизонтальная асимптота.
9 График функции (для любого n) похож на график гиперболы (графики функций 
изображены на рис. 4).
Рис. 4
Степенная функция, 
, 
.
1 Область определения: 
.
2 Множество значений: 
.
3 Четность и нечетность: функция четная.
4 Периодичность функции: не периодическая.
5 Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом 
.
6 Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на 
и убывающей на 
.
7 Асимптоты: x = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;
y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.
8 Графиками функций являются квадратичные гиперболы (рис. 5).
Рис. 5
Степенная функция, 
1 Область определения: 
.
2 Множество значений: 
.
3 Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.
4 Периодичность функции: не периодическая.
5 Нули функции: x=0 – единственный нуль.
6 Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, принимает в точке x=0; наибольшего значения не имеет.
7 Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8 Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для при условии 
.
9 График функции «похож» на график функции 
при любом n и изображен на рис. 6.
Рис. 6
Степенная функция, 
.
1 Область определения: .
2 Множество значений: .
3 Четность и нечетность: функция нечетная.
4 Периодичность функции: не периодическая.
5 Нули функции: x=0 – единственный нуль.
6 Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .
7 Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8 График функции изображен на рис. 7.
Рис. 7
Пример 1. Построить график функции:
1) 
; 2) 
.
Решение. 1. Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:
1) строим график функции 
;
2) график функции 
получаем из графика функции путем движения его на 1 единицу вправо по оси 
и на 2 единицы вниз по оси 
;
3) график исходной функции получаем из графика функции : оставляем часть графика, которая находится справа от оси и на оси , остальную отбрасываем, а оставшуюся часть отображаем симметрично оси (рис.8).
Рис. 8
2. Преобразуем функцию к виду 
. Заметим, что 
. График этой функции получаем путем следующих преобразований:
1) строим график функции 
;
2) график 
получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси ;
3) график функции 
получаем из предыдущего смещением на 4 единицы вправо по оси ;
4) график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом его на 2 единицы вниз по оси (рис.9).
Рис. 9
Задания
I уровень
1.1. Определите, принадлежит ли точка 
графику функции 
:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
1.2. Найдите область определения функции:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
1.3. Постройте график функции и определите область ее значений:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
II уровень
2.1. Найдите область определения функции:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
.
2.2. Постройте график функции:
1) 
; 2) 
;
4) 
; 4) 
.
III уровень
3.1. Найдите область определения функции:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
3.2. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обеих функций. постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:
1) 
; 2) 
.
3.3. Найдите множество значений функции:
1) 
; 2) 
.
Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня или под дробным показателем. (В этом параграфе термин «корень» будет соответствовать операции извлечения корня с определенным показателем, в отличие от термина «решение»).
Основной метод решения таких уравнений – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, чтобы корни исчезли. Иногда приходится возводить в степень несколько раз. При этом следует анализировать, какие корни надо оставлять в левой части уравнения, а какие корни нести в правую часть (если корней несколько). От этого часто зависит рациональность решения.
Поскольку корни нечётной степени определены для любых по знаку подкоренных выражений и принимают любые по знаку значения, то возведение уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием (т.е. мы не теряем решений и не получаем посторонних).
Корни с чётным показателем 
определены для f(x) ³ 0 Возведение уравнения, содержащего такие корни, в четную степень может изменить ОДЗ уравнения и привести к посторонним решениям. В таком случае итоговым моментом в решении уравнения является проверка полученных решений подстановкой в заданное уравнение. Проверка решения по ОДЗ такого уравнения недостаточна.
ОДЗ иррационального уравнения следует находитьв том случае, если предполагается, что она состоит только из нескольких чисел или может быть пустым множеством. Если ОДЗ состоит из одного, двух и т.д. чисел, то уравнение можно не решать, а эти числа проверять (являются ли они решением) подстановкой в заданное уравнение.
Если ОДЗ есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.
При решении иррациональных уравнений используют также метод замены переменной и другие методы.
Если имеется уравнение вида 
где с < 0, то оно не имеет решений, т.к. корни с четным показателем понимаем в арифметическом смысле, т.е. как неотрицательные.
