Обратная функция. Функция, заданная неявно и параметрически

Функция , где , называется обратимой на множестве , если каждому значению у из множества значений функции соответствует единственное значение .

Если – обратимая функция, то на множестве У определена функция g, которая каждому значению ставит в соответствие такое, что , т.е. определена . Поэтому .

Функция g называется обратной функцией к f.

Функции f и g называются взаимно обратными функциями. Графики взаимно-обратных функций f и g симметричны относительно прямой

Если функции f и g взаимно обратны, то и

Для нахождения обратной функции из равенства выражают х через у (если это возможно), а затем переобозначают переменные (через независимую переменную, через зависимую).

Пусть является функцией переменной , а переменная , в свою очередь, является функцией от переменной , т.е. и . Тогда функция называется сложной функцией (или функцией от функции), если область определения функции содержит множество значений функции . Переменная в этом случае называется промежуточной переменной.

Всякую линию на координатной плоскости, которая не имеет разрывов, называют кривой линией.

График функции , который не имеет разрывов, является кривой линией. Однако не всякая кривая линия является графиком функции (график функции задается при условии, что каждому значению соответствует единственное значение ).

Говорят, что функция , , задана неявно уравнением

, (2)

где некоторое выражение от переменных , при условии

Функцию, заданную явно уравнением , можно привести к виду (2):

, (3)

(в равенстве (3) ). Однако, не всякую функцию, заданную неявно, можно задать в виде . Уравнение (2), не всегда однозначно разрешимо относительно переменной у или вообще не разрешимо. Оно задает часто кривую линию, но не график функции.

Для нахождения точки, лежащей на линии, которая задается уравнением (2), необходимо придать переменной некоторое числовое значение, а затем из уравнения (2) найти соответствующее значение (возможно, несколько значений ). Для построения соответствующей кривой придают переменной некоторое количество числовых значений, получим множество точек, принадлежащих искомой линии (2). Эти точки следует соединить непрерывной линией.

Уравнения вида

(4)

называют параметрическими уравнениями линии, где t – параметр или вспомогательная переменная, а и – функции параметра .

Каждому значению параметра t из заданного промежутка соответствует определенные значения х и у (вычисляемые по формулам (4)), которые и определяют положение точки в системе координат .

Для построения линии, заданной параметрическими уравнениями, выбирают достаточное количество значений параметра где , вычисляют соответствующие значения . Затем строятся точки которые потом соединяются непрерывной линией.

Чтобы от уравнений (4) перейти к уравнению типа необходимо исключить параметр из уравнений системы (4).

Пример 1. Найти функцию, обратную данной (если она существует) и построить графики данной функции и ей обратной в одной системе координат.

1) ; 2) .

Решение. 1. Функция монотонна, поэтому для нее существует обратная функция. Выразим через :

, , ,

т.е. .

Обозначим независимую переменную через , а зависимую – через :

Обратная к заданной функции есть функция и она имеет вид:

, где ,

а .

Строим графики функции и (рис.1)

Рис. 1

2. Так как функция не является монотонной на промежутке , то обратной функции для нее не существует.

Пример 2. Из уравнения окружности выразить явной через .

Решение. Из уравнения выразим , откуда получаем совокупность двух функций

Графиком первого уравнения совокупности является полуокружность в верхней полуплоскости системы при условии, что .

Графиком второго уравнения совокупности является полуокружности в нижней полуплоскости системы при условии, что .

Пример 3. Построить кривую, заданную параметрически уравнениями

Решение. Для построения кривой выберем достаточное количество значений параметра и вычислим соответствующие значения . Данные занесем в таблицу:

Построим точки в системе координат и соединим их плавной линией (рис.2).

Рис.2

Задания

I уровень

1.1. Найдите функцию, обратную данной, если она существует.

1) ; 2) ; 3) .

1.2. Докажите, что пары функций являются взаимно обратными.

1) и , если ;

2) и ;

3) и ;

4) и , если .

1.3. Постройте график функции и ей обратной (если она существует) в одной системе координат.

1) , если ; 2) ;

3) ; 4) , если .

1.4. Найдите точку, принадлежащую кривой для заданного значения .

1) , ;

2) , ;

3) , .

1.5. Запишите функцию в явном виде.

1) ; 2) .

1.6. Найдите соответствующие точки кривой, заданной параметрически уравнениями, если заданы значения параметра ; ; ; ; .

1) 2)

II уровень

2.1. Найдите функцию, обратную данной и постройте их графики в одной системе координат:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5)

2.2. Определите, обратима ли функция

2.3. Найдите точки пересечения графиков где и обратной ей функции.

2.4. Пусть графиком функции является полуокружность с центром О (0; 0) и радиусом равным 5, расположенная в нижней координатной полуплоскости. Определите, существует ли функция, обратная данной.

2.5. Пусть задана функция Найдите промежутки, на которых данная функция обратима.

2.6. Выразите явно через из уравнения и постройте данную линию:

1) ; 2) ;

3) .

2.7. Постройте линию, заданную параметрически уравнениями:

1) ; 2) ;

3) .

III уровень

3.1. Найдите функцию, обратную данной и постройте их графики в одной системе координат:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) , ; 6)

3.2. Докажите, что обратна сама себе.

3.3. Найдите если обратна к функции

Преобразования графиков

Приведем графики некоторых функций.

1) – прямая линия (рис.3).

Рис.3

2. – квадратичная парабола (рис.4);

Рис.4

3) – кубическая парабола (рис.5);

Рис.5

4) – гипербола (рис.6);

Рис.6

5) – график квадратного корня (рис.7);

Рис.7

Правила преобразования графиков:

Пусть дана функция

1. Для построения графика функции

исходный график симметрично отображаем относительно оси Ох (рис.8).

Рис. 8

заданный график симметрично отображаем относительно оси Оу (рис.9).

Рис.9

этот график получается параллельным переносом графика на масштабных единиц вдоль оси Оу вверх, если и вниз, если (рис.10).

Рис.10

этот график получается параллельным переносом графика на масштабных единиц вдоль оси Ох вправо, если , и влево, если (рис.11).

Рис.11

5. где

график «растянут» в раз вдоль оси Оу (от оси Ох), если «сжат» в раз вдоль оси Оу (к Ох), если (рис.12).

Рис.12

6. где

график «растянут» вдоль оси Ох (от Оу) в раз при «сжат» вдоль Ох (к Оу) в раз, при (рис.13).

Рис.13

7. :

сохраняется та часть графика которая находится над Ох и на оси Ох, а та часть, которая находится под Ох, отображается симметрично Ох в верхнюю полуплоскость (рис.14).

Рис.14

часть графика , соответствующая отрицательному значению х, отбрасывается, а неотрицательная – сохраняется и дополняется симметричной ей относительно оси Оу частью (рис.15).

Рис.15

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Преобразуем заданную функцию:

Получили .

Для построения графика полученной функции используем следующие преобразования:

1) строим график функции ;

2) график функции получаем из графика функции путем движения его на единицу вправо по оси ;

3) график функции получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси ;

4) график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом на 2 единицы вниз по оси (рис.16).

Рис.16

Пример 2. Построить график функции .

Решение. Вначале преобразуем формулу, задающую функцию:

Шаги построения (рис. 17):

1) ;

2) – отображение симметрично в левую полуплоскость;

3) – смещение вдоль оси вправо на 2 единицы;

4) – увеличение коэффициента роста в два раза.

Рис.17

Пример 3. Построить график функции и найти наибольшее значение функции, если .

Решение.

Преобразуем функцию:

Данный график может быть получен из графика следующими преобразованиями (рис.18):

1) – смещение вдоль Ох на 1 влево;

2) – смещение вдоль Оу вверх на 1;

3) – отображение той части графика у ₃, которая расположена ниже оси Ох в верхнюю полуплоскость (рис.16). Заметим, что такие же преобразования необходимо использовать к асимптотам функции (вертикальной) и (горизонтальной).

Анализ графика показывает, что наибольшее значение на функция достигает в точке . Вычисляем его:

Пример 4. Определить, при каком значении уравнение имеет ровно 3 решения:

Решение. Решим задачу графически.

Построим графики функций и , и исследуем, при каком значении они имеют ровно 3 общие точки.

Строим график функции ;

, т.е.

- парабола , вершина которой смещена в точку .

Для построения графика функции

сохраняем ту часть графика, которая находится над осью и на оси , а ту часть графика, которая находится под осью отображаем симметрично в верхнюю полуплоскость.

– прямая, параллельная оси .

по построению видно, что ровно 3 решения будет тогда и только тогда, когда .