Числовые функции
Функция, ее свойства и график
Пусть X и Y некоторые числовые множества 
Если каждому 
по некоторому правилу f ставится в соответствие единственный элемент 
то говорят, что задана функция.
Обозначается 
где х – аргумент или независимая переменная функции;
у – значение функции или зависимая переменная.
Множество Х значений независимой переменной называется областью определения функции и обозначается 
или 
Множество всех значений зависимой перем е нной Y называется множеством значений функции и обозначается 
или 
Частное значение функции 
при заданном частном значении аргумента 
обозначается 
.
Отметим особенности отыскания области определения некоторых функций:
1) область определения дробно-рациональной функции
где P (x), Q (x) – некоторые многочлены, определяется условием:
2) если аналитическое выражение функции содержит квадратный корень, т.е. задана функция 
то
.
В случае задания функции формулой 
ее область определения 
это ОДЗ выражения 
.
Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами 
, где 
.
Способы задания числовой функции:
1) табличный – указываются значения переменной х и соответствующие им значения переменной y, составляется таблица
| x | … | … | … | (можно использовать для записи наблюдений); |
| f (x) | … | … | … |
2) аналитический – указывается область определения функции и задается формула, по которой каждому значению 
ставится в соответствие 
;
3) графический – задается график функции.
Свойства функции.
Четность и нечетность функции
Функция называется четной, если:
1) – симметричное множество относительно 
;
2) для любого выполняется 
Функция называется нечетной, если:
1) – симметричное множество относительно ;
2) для любого выполняется 
Если функция 
является четной или нечетной, то говорят, что она обладает свойством четности.
График четной функции симметричен относительно оси 
. График нечетной – относительно начала координат.
Свойства четных (нечетных) функций:
1) если f и g – четные функции на множестве Х, то функции
четные функции на Х;
2) если f и g – нечетные функции на множестве Х, то функции
нечетные функции на Х;
четные функции на Х.
Периодичность функции
Функция с областью определения называется периодической, если существует такое число 
что для любой выполняются условия:
1) 
2) 
Число Т называется периодом функции.
Числа 
где 
также будут периодами функции.
Наименьший из положительных периодов, если он существует, называется основным периодом.
Значения периодической функции повторяются через период Т, следовательно, для построения графика данной функции достаточно построить часть графика на любом из промежутков длины Т (из 
), а затем произвести параллельный перенос данной части графика вдоль оси Ох на 
Если функция – периодическая и имеет период Т, то функция 
где A, k и b 
также периодична, причем ее период равен 
Справедливы утверждения:
1) если 
и 
– периодические функции с общим периодом Т, то функции 
– также периодические, с тем же периодом Т;
2) для того, чтобы периодические функции и с периодами Т 1 и Т 2 имеет общий период Т (число Т должно нацело делиться на Т 1 и Т 2) необходимо и достаточно, чтобы отношение 
было числом рациональным.
Монотонность функции
Пусть х 1, х 2 – произвольные значения из области функции такие что 
Если при данном условии выполняется:
то функция называется возрастающей;
– убывающей;
– неубывающей;
– невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются монотонными функциями (возрастающие и убывающие – строго монотонными).
Функция называется кусочно-монотонной на множестве Х, если данное множество можно разделить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.
Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции
Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. 
или 
) называются промежутками знакопостоянства.
Значения аргумента 
при которых 
, называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.
Пример 1. Найти область определения функции
Решение.
: 
(1)
Найдем соответствующее множество точек.
Неравенство 
равносильно неравенству
. Решая его, получаем (рис.1)
.
Условие
Рис.1
означает, что
, т.е. 
.
Приходим к заключению, что
. Получаем 
.
Таким образом система (1) равносильна системе
Значит 
.
Пример 2. Найти множество значений функции
Решение.
Найдем область определения функции.
: 
;
;
.
Последнее условие выполняется только для 
. Вычисляем значение функции в этой точке: 
.
Значит 
.
Пример 3. Исследовать функцию на четность:
1) 
2) 
3) 
Решение.
1. Замечаем, что для функция 
имеет 
. Значит, функция определена на симметричном множестве.
Рассмотрим ее значение для 
:
Поскольку выполняются оба условия четной функции, заключаем, что функция 
– четная.
2. Функция 
имеет 
.
Так как не является симметричным множеством, второе условие проверять нет необходимости. Эта функция не обладает свойством четности.
3. Очевидно, что функция 
имеет , т.е. определена на симметричном множестве и для нее
.
Оба условия нечетной функции выполняются, а потому данная функция является нечетной.
Пример 4. Пусть 
где 
. Причем, функция имеет период 2. Построить ее график.
Решение.
Построим график данной функции на (рис. 2).
Рис. 2
Исходя из определения периодической функции должно выполняться условие: 
, где 
.
Строим ее график, продолжая по периоду (рис. 3).
Рис. 3
Пример 5. Используя определение монотонной функции, найти значения а, при которых функция 
где 
монотонно возрастает.
Решение. Пусть 
. Функция монотонно возрастает, если выполняется 
или 
. Это означает, что
Поскольку 
, последнее неравенство выполняется, если 
, т.е 
.
Таким образом, функция возрастает для .
Пример 6. Дана функция
Определить промежутки знакопостоянства функции, нули функции. Построить график данной функции.
Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно .
1. Исследуем функцию при 
. На данном промежутке функция принимает значение равное 1, т.е. она знакоположительна и нулей функции нет.
2. Пусть 
.
При таком условии функция задается формулой 
и 
. Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль .
3. Пусть 
.
Очевидно, что при этом условии 
, т.к. 
. Нулей функции на этом промежутке нет.
Построим график:
Если 
, строим часть прямой линии 
;
Если 
– часть параболы ;
Если 
– часть прямой 
Получили график заданной функции (рис.4).
 |
Рис. 4
Таким образом, функция знакоположительна 
; имеет нуль .
Задания
I уровень
1.1. Найдите область определения функции:
1) 
2) 
1.2. Исследуйте функцию на свойство четности:
1) 
2) 
1.3. Найдите множество значений функции 
1.4. Для функции 
определите промежутки монотонности, нули, промежутки знакопостоянства. Постройте график функции.
II уровень
2.1. Найдите ОДЗ функции:
1) 
2) 
2.2. Найдите множество значений функции:
1) 
2) 
2.3. Задайте функцию аналитически:
1) линейную, если 
2) квадратичную, если 
2.4. Исследуйте функцию на четность:
1) 
2) 
2.5. Докажите, что функция:
1) 
убывает на 
2) 
возрастает на 
2.6. Исследуйте функцию 
на монотонность.
2.7. Пусть 
Известно, что имеет период Т = 4. Постройте график функции.
III уровень
3.1. Исследуйте функцию на четность. Найдите ее нули:
1) 
2) 
3.2. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности:
Постройте график.
3.3. Дана функция 
Найдите промежуток на котором она убывает.
3.4. Определите, при каком а функция 
является периодической.
3.5. Найдите 
если:
1) 
2) 
3.6. Определите, при каком значении аргумента значение функции 
равно –1.
3.7. Определите при каких значениях х график функции 
расположен выше графика функции 
