Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

 

Все точки при поступательном движении тела движутся как центр масс, поэтому дифференциальные уравнения движения центра масс тела

 

, , (*.34)

 

являются и дифференциальными уравнениями поступательного движения тела. С их помощью можно решать два основных типа задач:

1) по заданному движению твердого тела определять главный вектор приложенных к нему сил;

2) по заданным внешним силам, действующим на тело, и начальным условиям движения находить кинематические уравнения движения, если известно, что тело движется поступательно.

Дифференциальное уравнение вращательного движения

 

Из третьего уравнения теоремы об изменении кинетического момента получим дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси (рис. *.11). Имеем

 

.

 

Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси кинетический момент

 

.

 

Учитывая это получаем дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

. (*.35)

 

В главный момент внешних сил (вращательный момент) не входят реакции (внешние силы) подпятника , , и подшипника , , так как они пересекают ось или направлены вдоль оси.

Если ввести угол поворота тела , то учитывая, что , дифференциальное уравнение (*.35) можно переписать так

 

(*.36) или . (*.37)

 

Равенство (*.36) показывает, что при данном чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение, и наоборот. Следовательно момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же как масса при поступательном, т.е. является мерой инертности при вращательном движении.

Уравнение (*.37) позволяет:

1) по заданному уравнению вращательного движения и его моменту инерции определить главный момент внешних сил, действующих на тело (первая задача динамики);

2) по заданным внешним силам, приложенным к телу, по начальным условиям вращения тела , и по моменту инерции тела найти уравнение вращения тела (вторая задача динамики).

Если известны величины и , уравнение вращательного движения в форме (*.36) часто используют при экспериментальном определении моментов инерции тел, для которых расчетным способом их найти затруднительно.

 

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела

 

Свободное твердое тело будет совершать плоскопараллельное движение, если в нем существует плоское сечение, относительно которого масса тела распределена симметрично; силы, действующие на тело, расположены в плоскости этого сечения, а начальные скорости всех точек тела расположены в плоскостях, параллельных плоскости сечения. Движение тела может быть плоскопараллельным также и в силу наложенных на него связей, но это уже будет несвободное движение.

В кинематике было установлено, что положение твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется тремя параметрами. За эти параметры выберем координаты центра масс тела и угол поворота тела относительно оси, перпендикулярной к рассматриваемому плоскому сечению тела.

Пусть система координат , имеющая начало в центре масс тела, движется поступательно относительно неподвижной системы координат . Положение тела будет полностью определено, если известны координаты центра масс () и угол между осью и осью системы координат , жестко связанной с телом (рис. *.12).

В соответствии с теоремой о движении центра масс получаем зависимости, связывающие координаты центра масс тела и проекции главного вектора всех внешних сил (), приложенных к твердому телу:

 

, , (*.38)

 

где – масса тела.

Используя теперь теорему об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс (можно показать, что она записывется также как и теорема об измененении кинетического момента относительно неподвижного центра), получим зависимость между углом поворота тела и силами, действующими на тело.

Так как в системе координат твердое тело совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения тела, то кинетический момент тела относительно этой оси в соответствии с ранее полученной формулой будет равен . Следовательно, на основании последнего уравнения теоремы об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс имеем

 

, (*.39)

 

где – момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения тела и проходящей через центр масс тела;

– главный момент внешних сил всех внешних сил относительно той же самой оси.

Уравнения (*.38), (*.39) дают возможность решать задачи динамики плоскопараллельного движения твердого тела.

Указанные уравнения позволяют:

1) по заданным уравнениям движения тела , , его массе и моменту инерции определить главный вектор и главный момент внешних сил, действующих на тело (первая задача динамики);

2) по заданным внешним силам, приложенным к телу, начальным условиям , , , , , , по массе и моменту инерции тела найти уравнение плоскопараллельного движения тела (вторая задача динамики)

, , .

 

Если тело совершает несвободное движение, то в число действующих сил следует включить реакции связей. Уравнения движения в этом случае будут

 

, , , (*.40)

 

где , – суммы проекций всех реакций соответственно на оси , ;

– сумма моментов всех реакций относительно центра масс.

К уравнениям (*.40) следует еще добавить уравнения связей.