I уровень
1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне докажите, что:
1) 
2) 
3) 
4) 
.
1.2. Найдите предел функции в точке:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
II уровень
2.1. Найдите предел:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
2.2. Определите, является ли функция 
бесконечно малой или бесконечно большой при 
, если
1) 
2) 
3) 
.
Ш уровень
3.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне, докажите, что предел не существует:
1) 
2) 
3) 
3.2. Вычислите пределы функций в точке.
1) 
2) 
3.3. Вычислите пределы при всех возможных значениях 
и 
.
1) 
; 2) 
.
3.4. Вычислите 
Первый и второй замечательные пределы
При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел:
(9)
Если 
при 
, то верна более общая формула первого замечательного предала:
(10)
Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа 
.
Второй замечательный предел:
(11)
или
(12)
Если 
при 
, то обобщением формулы (11) является формула:
(13)
Если 
, то обобщением формулы (12) является:
(14)
Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа 
.
Для того чтобы использовать, например, формулу (13), необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять условий (акцентируем их подчёркиванием):
1) 
2) 
3) 
4) 
5) , при .
Эти условия достигаются тождественным преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.
Пример 1. Вычислить предел функции:
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение. 1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
.
Последний предел, согласно формуле (9), равен 1.
Так как при 
выражение 
также стремится к нулю, то, умножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечательный предел, получим:
Следовательно 
.
2. При непосредственном вычислении предела получаем неопределённость вида 
Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на 
и преобразуем его к виду, когда можно использовать первый замечательный предел (формула (10)):
3. Выделим целую часть в основании степени:
Так как при 
исходное выражение представляет собой неопределенность типа 
, то, используя второй замечательный предел (формула (13)), имеем:
4. В данном случае получаем неопределённость вида 
. Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел (формула (14)). Получим:
Для вычисления 
применим первый замечательный предел:
Таким образом, получаем ответ: 
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
;
17) 
; 18) 
.
1.2. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
.
II уровень
2.1. Найдите предел функции:
1) 
2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
2.2. Найдите предел функции:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
.
Ш уровень
3.1. Найдите предел функции, сделав соответствующую замену переменной:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
.
3.2. Вычислите пределы функций с помощью второго замечательного предела:
1) 
2) 
3) 
4) 
