I уровень
1.1. Пользуясь определением числовой последовательности, докажите, что:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Вычислите предел:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
; 10) 
.
11) 
12) 
II уровень
2.1. Вычислите предел:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
2.2. Докажите, что последовательность 
не имеет предела:
1) 
2) 
III уровень
3.1. Задана последовательность
Найдите 
. Определите, каким должно быть 
для того, чтобы разность между 
и ее пределом по абсолютной величине не превзошла 
?
3.2. Вычислите предел последовательности:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
.
3.3. Найдите предел последовательности:
1) 
если 
2) 
, если 
.
3.4. Вычислите предел числовой последовательности 
, заданной формулой общего члена при различных значениях параметров 
.
1) 
;
2) 
.
Предел функции
Рассмотрим функцию 
, определённую в некоторой окрестности точки 
(в самой точке 
данная функция может быть не определена).
Число А называется пределом функции 
в точке (по Гейне),если для любой последовательности , сходящейся к 
, последовательность 
соответствующих значений функции сходится к А.
Обозначается:
или
при 
Если функция в точке имеет предел, то он единственный.
Если функции и 
имеют пределы в точке , то справедливы формулы:
, где С = const; (3)
(4)
(5)
. (6)
Если непосредственное вычисление предела по формулам (3) – (6) приводят к неопределённости вида, 
, то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.
Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
, (7)
которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы.
Кроме предела функции в точке рассматривают предел функции на бесконечности: число 
называется пределом функции 
при 
(или 
), если для всякой последовательности 
, 
(или 
) при 
последовательность 
соответствующих значений функции сходится к числу .
Обозначают:
.
Для предела функции на бесконечности также справедливы формулы (3) – (6).
Функция называется бесконечно малой функцией при 
(или 
), если
Функция называется бесконечно большой при 
, если для всякой последовательности , 
при , 
(или 
) последовательность соответствующих значений функции является бесконечно большой.
Обозначают 
. (8)
Если – бесконечно большая функция при , то она не имеет предела (предел – это число!), запись (8) следует воспринимать лишь как обозначение бесконечно большой функции
Пример1. Пользуясь определением предела функции по Гейне доказать, что 
Решение. Пусть – произвольная последовательность, которая сходится к 3 
, т.е. 
Тогда 
Пример 2. Вычислить пределы функций в точке:
1) 
2) 
3) 
.
Решение. 1. При непосредственном использовании формул (3) – (6) получаем неопределённость вида 
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на общий множитель. Получим
.
2. Непосредственное вычисление приводит к неопределённости 
. Для раскрытия приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
.
Далее разлагаем числитель и знаменатель на множители. Получаем
.
3. Непосредственное вычисление предела при 
приводит к неопределённости Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражений 
и 2, чтобы в числителе получить разность кубов:
Поскольку неопределенность типа 
сохранилась, разложим многочлены на множители и сократим:
Переход к пределу при дает
.
Пример 3. С помощью вычислений определить является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой при 
.
1) 
; 2) 
Решение. 1. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассмотреть 
.
Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности типа 
. Вынесем в числителе и знаменателе старшее основание, т.е. 
за скобки.
Так как показательная функция 
при 
является убывающей, то при получим:
.
Тогда согласно определению функция является бесконечно большой.
2. Вычислим 
. При 
выражение в скобках представляет собой разность двух бесконечно больших величин (
). Умножив и разделив функцию на выражение 
, получим:
.
В результате преобразований возникла неопределенность типа , а поэтому разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на 
. Получим:
Следовательно, по определению функция является бесконечно малой.
